Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Normalverteilung mit unendlicher Varianz einen Wert hat, der über ihrem Mittelwert liegt?

Ich habe heute im Interview etwas Ähnliches gefragt.

Der Interviewer wollte wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine At-the-Money-Option im Geld landet, wenn die Volatilität gegen unendlich tendiert.

Ich sagte 0%, weil die Normalverteilungen, die dem Black-Scholes-Modell und der Random-Walk-Hypothese zugrunde liegen, eine unendliche Varianz haben werden. Und so habe ich angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Werte Null ist.

Mein Interviewer sagte, die richtige Antwort sei 50%, da die Normalverteilung immer noch symmetrisch und nahezu gleichmäßig ist. Wenn Sie also von mittel bis unendlich integrieren, erhalten Sie 50%.

Ich bin immer noch nicht von seiner Argumentation überzeugt.

Wer hat Recht?

Weder ist die Form des Denkens mathematisch streng - es gibt keine Normalverteilung mit unendlicher Varianz, noch gibt es eine begrenzende Verteilung, wenn die Varianz groß wird - seien wir also etwas vorsichtig.

Im Black-Scholes-Modell wird davon ausgegangen, dass der logarithmische Preis des Basiswerts zufällig ermittelt wird. Das Problem entspricht der Frage "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der (Protokoll-) Wert des Assets am Ablaufdatum seinen aktuellen (Protokoll-) Wert überschreitet?" Das Erhöhen der Volatilität ohne Limit entspricht dem Erhöhen des Verfallsdatums ohne Limit. Somit sollte die Antwort das gleiche sein wie die Frage „Was ist die Grenze, wie , dass der Wert einer Irrfahrt zum Zeitpunkt t größer als sein Wert zum Zeitpunkt 0 ?“ Durch Symmetrie (Austauschen von Aufwärts- und Abwärtssticks) (und unter Hinweis darauf, dass im kontinuierlichen Modell die Chance, am Geld zu sein, 0 ist ) sind diese Wahrscheinlichkeiten gleich 1 $t \to \infty$$t$$0$$0$ für alle t > 0 ,wo ihre Grenze existiert tatsächlich undgleich 1 / 2 .$1/2$$t \gt 0$$1/2$

Betrachten Sie eine Folge von normalen Zufallsvariablen mit dem Mittelwert μ und SD σ n .$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

Im Wesentlichen fragt Ihr Interviewer nach , vorausgesetzt, wir kennen σ n → ∞ .$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

Wir sehen klar ist unabhängig von& sgr;n, die uns die Antwort gibt.$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

Anstatt sich eine Normalverteilung mit unendlicher Varianz vorzustellen, sollten Sie sich intuitiv eine Verteilung mit endlicher Varianz vorstellen und mit ihren Grenzen arbeiten.

Sie sollten Ihre Analyse auf der Grundlage einer Protokollnormalverteilung und nicht einer Normalverteilung durchführen. Ihr Interviewer ist falsch, wenn er angibt, dass die Verteilung symmetrisch ist. Es würde niemals sein, unabhängig von der Varianz. Sie müssen auch zwischen Volatilität und dem, was Sie als unendliche Varianz bezeichnen, unterscheiden. Ein Aktienkurs hat zum Beispiel keine Obergrenze, also eine "unendliche Varianz".