Earth Mover's Distance (EMD) zwischen zwei Gaußschen

$\DeclareMathOperator\EMD{\mathrm{EMD}} \DeclareMathOperator\E{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator\Var{Var} \DeclareMathOperator\N{\mathcal{N}} \DeclareMathOperator\tr{\mathrm{tr}} \newcommand\R{\mathbb R}$ Die Entfernung des Erdbewegers kann als , wobei das Infimum über alle gemeinsamen Verteilungen von und übernommen wird Rn , . Dies ist auch als der erste Wasserstein-Abstand bekannt , der mit demselben Infimum ist. $\EMD(P, Q) = \inf \E \lVert X - Y \rVert$ $X$ $Y$ $X \sim P$ $Y \sim Q$ $W_p = \inf \left( \E \lVert X - Y \rVert^p \right)^{1/p}$

Sei $X \sim P = \N(\mu_x, \Sigma_x)$ , $Y \sim Q = \N(\mu_y, \Sigma_y)$ .

Untergrenze: Nach Jensens Ungleichung ist die EMD , da die Normen konvex sind, immer

E ‖ X - Y ‖ \geq ‖ E (X - Y) ‖ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖,

$\E \lVert X - Y \rVert \ge \lVert \E (X - Y) \rVert = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert,$ mindestens der Abstand zwischen den Mitteln (für etwaige Verteilungen).

Obere Schranke basierend auf $W_2$ : Wiederum durch Jensens Ungleichung $\left( \E \lVert X - Y \rVert \right)^2 \le \E \lVert X - Y \rVert^2$ . Also $W_1 \le W_2$ . Aber Dowson und Landau (1982) stellen fest, dass

W_{2} (P, Q)^{2} = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - 2 (Σ_{x} Σ_{y})^{1 / 2}),

$W_2(P, Q)^2 = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - 2 (\Sigma_x \Sigma_y)^{1/2} \right) ,$ mit einer Obergrenze für

E M D = W_{1}

$\EMD = W_1$ .

Eine engere obere Schranke: Betrachten Sie die Kopplung Dies ist die von Knott und Smith (1984) abgeleitete Karte. , Zur optimalen Abbildung von Verteilungen , Journal of Optimization Theory and Applications, 43 (1), S. 39-49 als optimale Abbildung für ; Siehe auch diesen Blog-Beitrag . Beachten Sie, dass und

\begin{aligned} X & \sim N (μ_{x}, Σ_{x}) \\ Y & = μ_{y} + \underset{A}{\underset{⏟}{Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}}}} (X - μ_{x}) . \end{aligned}

$\begin{align} X &\sim \N(\mu_x, \Sigma_x) \\ Y &= \mu_y + \underbrace{\Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12}}_A (X - \mu_x) .\end{align}$

W_{2}

$W_2$

A = A^{T}

$A = A^T$

\begin{aligned} E Y & = μ_{y} + A (E X - μ_{x}) = μ_{y} \\ Var Y & = A Σ_{x} A^{T} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} Σ_{x} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{y}, \end{aligned}

$\begin{align} \E Y &= \mu_y + A (\E X - \mu_x) = \mu_y \\ \Var Y &= A \Sigma_x A^T \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \Sigma_x \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right) \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_y ,\end{align}$ damit die Kopplung gültig ist.

Der Abstand ist dann , wobei nun was normal ist mit $\lVert X - Y \rVert$ $\lVert D \rVert$

\begin{aligned} D & = X - Y \\ = X - μ_{y} - A (X - μ_{x}) \\ = (I - A) X - μ_{y} + A μ_{x}, \end{aligned}

$\begin{align} D &= X - Y \\&= X - \mu_y - A (X - \mu_x) \\&= (I - A) X - \mu_y + A \mu_x ,\end{align}$

\begin{aligned} E D & = μ_{x} - μ_{y} \\ Var D & = (I - A) Σ_{x} (I - A)^{T} \\ = Σ_{x} + A Σ_{x} A - A Σ_{x} - Σ_{x} A \\ = Σ_{x} + Σ_{y} - Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} - Σ_{x}^{\frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \E D &= \mu_x - \mu_y \\ \Var D &= (I - A) \Sigma_x (I - A)^T \\&= \Sigma_x + A \Sigma_x A - A \Sigma_x - \Sigma_x A \\&= \Sigma_x + \Sigma_y - \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} - \Sigma_x^{\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} .\end{align}$

Somit gebunden ein oberes für ist . Leider ist eine geschlossene Form für diese Erwartung überraschend unangenehm für die allgemeinen multivariate Normale aufzuschreiben: siehe diese Frage , aber auch diese ein . $W_1(P, Q)$ $\E \lVert D \rVert$

Wenn die Varianz von endet sphärisch (zB wenn , , dann ist die Varianz von wird ), der ehemaligen Frage gibt die Antwort in Bezug auf ein verallgemeinertes Laguerre-Polynom. $D$ $\Sigma_x = \sigma_x^2 I$ $\Sigma_y = \sigma_y^2 I$ $D$ $(\sigma_x - \sigma_y)^2 I$

Im Allgemeinen haben wir eine einfache obere Schranke für basierend auf Jensens Ungleichung, abgeleitet zB aus der ersten Frage: $\E \lVert D \rVert$

\begin{aligned} {(E ‖ D ‖)}^{2} & \leq E ‖ D ‖^{2} \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - A Σ_{x} - Σ_{x} A) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r (Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r ({(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \\ = W_{2} (P, Q)^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \left( \E \lVert D \rVert \right)^2 &\le \E \lVert D \rVert^2 \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - A \Sigma_x - \Sigma_x A \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \Sigma_x^{-\frac12} \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \right) \\&= W_2(P, Q)^2 .\end{align}$ Die Gleichheit am Ende ist, weil die Matrizen und ähnlich sind Sie haben also die gleichen Eigenwerte, und daher haben ihre Quadratwurzeln die gleiche Spur.

Σ_{x} Σ_{y}

$\Sigma_x \Sigma_y$

Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x} Σ_{y}) Σ_{x}^{\frac{1}{2}}

$\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 = \Sigma_x^{-\frac12} (\Sigma_x \Sigma_y) \Sigma_x^{\frac12}$

Diese Ungleichung ist streng, solange nicht entartet ist, was in den meisten Fällen bei . $\lVert D \rVert$ $\Sigma_x \ne \Sigma_y$

Eine Vermutung : Vielleicht ist diese engere obere Schranke, , eng. ich hier lange Zeit eine andere Obergrenze, von der ich vermutete, dass sie enger war als die , also sollten Sie dieser Vermutung vielleicht nicht zu sehr vertrauen. :) $\E \lVert D \rVert$ $W_2$

Dougal
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