Wie hängt die Kurtosis einer Verteilung mit der Geometrie der Dichtefunktion zusammen?

Die Kurtosis ist die Messung der Höhe und Ebenheit einer Verteilung. Die Dichtefunktion der Verteilung kann, sofern vorhanden, als Kurve betrachtet werden und weist geometrische Merkmale (wie Krümmung, Konvexität usw.) auf, die mit ihrer Form zusammenhängen.

Ich frage mich also, ob die Kurtosis einer Verteilung mit einigen geometrischen Merkmalen der Dichtefunktion zusammenhängt, die die geometrische Bedeutung der Kurtosis erklären können.

Die Momente einer kontinuierlichen Verteilung und Funktionen von ihnen wie die Kurtosis sagen nur sehr wenig über den Graphen seiner Dichtefunktion aus.

Betrachten Sie beispielsweise die folgenden Grafiken.

Jedes von diesen ist der Graph einer nicht negativen Funktion, die in integriert ist : Sie sind alle PDFs. Darüber hinaus haben sie alle genau die gleichen Momente - jede letzte unendliche Anzahl von ihnen. So teilen sie eine gemeinsame Kurtosis (was gleich geschieht - 3 + 3 e 2 + 2 e 3 + e 4 ) .$1$$-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

Die Formeln für diese Funktionen sind

für - 1 ≤ s ≤ 1 , und k ∈ Z$x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$$k\in\mathbb{Z}.$

Die Abbildung zeigt Werte von links s und oben die Werte von k an. Die linke Spalte zeigt das PDF für die Standardlognormalverteilung.$s$$k$

In Übung 6.21 in Kendalls Advanced Theory of Statistics (Stuart & Ord, 5. Auflage) wird der Leser gebeten zu zeigen, dass alle dieselben Momente haben.

Man kann jedes PDF auf ähnliche Weise modifizieren , um ein anderes PDF mit einer radikal anderen Form zu erstellen, jedoch mit demselben zweiten und vierten zentralen Moment (etwa), die daher dieselbe Kurtosis haben würden. Allein aus diesem Beispiel sollte klar hervorgehen, dass Kurtosis kein leicht zu interpretierendes oder intuitives Maß für Symmetrie, Unimodalität, Bimodalität, Konvexität oder eine andere bekannte geometrische Charakterisierung einer Kurve ist.

Funktionen von Momenten (und Kurtosis als Sonderfall) beschreiben daher nicht die geometrischen Eigenschaften des Diagramms des PDF. Das macht intuitiv Sinn: Denn ein PDF repräsentiert die Wahrscheinlichkeit mittels Fläche darstellt, können wir die Wahrscheinlichkeitsdichte fast frei von einem Ort zum anderen verschieben, wodurch sich das Erscheinungsbild des PDF radikal ändert und eine endliche Anzahl von vordefinierten Momenten festgelegt wird.

Bei symmetrischen Verteilungen (für die gerade zentrierte Momente von Bedeutung sind) misst Kurtosis ein geometrisches Merkmal des zugrunde liegenden PDF. Es ist nicht wahr, dass Kurtosis die Höhe einer Verteilung misst (oder im Allgemeinen damit zusammenhängt). Die Kurtosis misst vielmehr, wie weit die zugrunde liegende Verteilung von der Symmetrie entfernt ist und bimodal ist (algebraisch hat eine perfekt symmetrische und bimodale Verteilung eine Kurtosis von 1, was dem kleinstmöglichen Wert entspricht, den die Kurtosis haben kann) [0].

Kurz gesagt [1], wenn Sie Folgendes definieren:

mit $E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$ , dann

für $Z=(X-\mu)/\sigma$ .

Dies impliziert, dass als ein Maß für die Dispersion von Z $k$$Z^2$ um seine Erwartung 1 gesehen werden kann. Mit anderen Worten, wenn Sie eine geometrische Interpretation der Varianz und der Erwartung haben, folgt die der Kurtosis.

[0] RB Darlington (1970). Ist Kurtosis wirklich "Peakedness?". Der amerikanische Statistiker, Vol. 24, Nr. 2.

[1] JJA Moors (1986). Die Bedeutung von Kurtosis: Darlington Reexamined. The American Statistician, Band 40, Ausgabe 4.

[Hinweis: Dies wurde als Antwort auf eine andere Frage vor Ort geschrieben. Die Antworten wurden auf die vorliegende Frage zusammengefasst. Aus diesem Grund scheint diese Antwort auf eine anders formulierte Frage zu antworten. Hier sollte jedoch ein Großteil des Beitrags relevant sein.]

Kurtosis misst die Form von Verteilungen nicht wirklich. In einigen Verbreitungsfamilien kann man vielleicht sagen, dass es die Form beschreibt, aber im Allgemeinen sagt die Kurtosis nicht viel über die tatsächliche Form aus. Die Form wird von vielen Dingen beeinflusst, einschließlich Dingen, die nichts mit Kurtosis zu tun haben.

Wenn ein Bild nach Kurtosis sucht, werden einige Bilder wie dieses angezeigt:

die stattdessen eine sich ändernde Varianz zu zeigen scheinen, anstatt die Kurtosis zu erhöhen. Zum Vergleich hier sind drei normale Dichten, die ich gerade mit R mit verschiedenen Standardabweichungen gezeichnet habe:

Wie Sie sehen, sieht es fast identisch mit dem vorherigen Bild aus. Diese haben alle genau die gleiche Kurtosis. Im Gegensatz dazu ist hier ein Beispiel, das wahrscheinlich näher an dem ist, was das Diagramm angestrebt hat

Die grüne Kurve ist sowohl spitzer als auch schwerer (obwohl diese Anzeige nicht gut geeignet ist, um zu sehen, wie viel schwerer der Schwanz tatsächlich ist). Die blaue Kurve ist weniger spitz und hat sehr leichte Schwänze (in der Tat hat sie darüber hinaus überhaupt keine Schwänze)$\sqrt{6}$ Standardabweichungen vom Mittelwert).

Dies ist normalerweise gemeint, wenn man über Kurtosis spricht, die die Form der Dichte anzeigt. Kurtosis kann jedoch subtil sein - es muss nicht so funktionieren.

Beispielsweise kann bei einer gegebenen Varianz tatsächlich eine höhere Kurtosis mit einem niedrigeren Peak auftreten.

Man muss sich auch der Versuchung bewusst sein (und in einigen Büchern heißt es offen), dass eine Null-Überschuss-Kurtosis Normalität impliziert. Es gibt Verteilungen mit überschüssiger Kurtosis 0, die nicht normal sind. Hier ist ein Beispiel:

Dies verdeutlicht in der Tat auch den vorherigen Punkt. Ich könnte leicht eine ähnlich aussehende Verteilung mit einer höheren Kurtosis als die normale konstruieren, die aber im Zentrum immer noch Null ist - ein völliges Fehlen eines Peaks.

Es gibt eine Reihe von Beiträgen vor Ort, die die Kurtosis näher beschreiben. Ein Beispiel ist hier .

$\mu \pm \sigma$ Bereichs) kann die Geometrie einen unendlichen Peak, einen flachen Peak oder bimodale Peaks aufweisen, sowohl in Fällen, in denen die Kurtosis unendlich ist, als auch in Fällen, in denen die Kurtosis geringer ist der Normalverteilung. Kurtosis misst nur das Schwanzverhalten (Ausreißer). Siehe https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/

Edit 23.11.2008: Seit ich diesen Beitrag geschrieben habe, habe ich einige geometrische Perspektiven zur Kurtosis entwickelt. Eine davon ist, dass überschüssige Kurtosis in der Tat geometrisch in Form von Abweichungen von der erwarteten 45-Grad-Linie in den Endpunkten des normalen Quantil-Quantil-Diagramms dargestellt werden kann. Siehe Zeigt dieses QQ-Diagramm eine leptokurtische oder platykurtische Verteilung an?

Eine andere (vielleicht eher physikalische als geometrische) Interpretation der Kurtosis ist, dass die Kurtosis als der Punkt des Gleichgewichts der Verteilung visualisiert werden kann $p_V(v)$, wo $V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$. Beachten Sie, dass (nicht übermäßige) Kurtosis von$X$ entspricht $E(V)$. Somit ist die Verteilung von$V$ Guthaben bei der Kurtosis von $X$.

Ein weiteres Ergebnis, das diese Geometrie in der zeigt $\mu \pm \sigma$Die Reichweite ist für die Kurtosis nahezu irrelevant. Betrachten Sie das PDF eines Wohnmobils$X$ having finite fourth moment. (Thus the result applies to all empirical distributions.) Replace the mass (or geometry) within the $\mu \pm \sigma$ range arbitrarily to get a new distribution, but keep the mean and standard deviation of the resulting distribution equal to $\mu$ and $\sigma$ of the original $X$. Then the maximum difference in kurtosis for all such replacements is $\le 0.25$. On the other hand, if you replace the mass outside the $\mu \pm \sigma$ range, keeping the center mass as well as $\mu$, $\sigma$ fixed, the difference in kurtosis is unbounded for all such replacements.

A different kind of answer: We can illustrate kurtosis geometrically, using ideas from http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm: graphical moments.

Start with the definition of kurtosis:

In the following I will show a plot of graphical kurtosis for some symmetric distributions, all centered at zero and scaled to have variance 1.

Note the virtual absence of contribution to the kurtosis from the center, showing that kurtosis does not have much to do with "peakedness".