Nicht-Normalverteilungen mit null Schiefe und null überschüssiger Kurtosis?

Meist theoretische Frage. Gibt es Beispiele für nicht normale Verteilungen, deren erste vier Momente denen der Normalverteilung entsprechen? Könnten sie theoretisch existieren?

Ja, Beispiele mit Schiefe und überschüssiger Kurtosis sind relativ einfach zu konstruieren. (In der Tat haben die folgenden Beispiele (a) bis (d) auch eine mittlere mittlere Pearson-Schiefe von 0).

(a) In dieser Antwort wird ein Beispiel gegeben, indem eine 50: 50-Mischung aus einer Gamma-Variablen (die ich nenne ) und dem Negativ einer zweiten Variablen genommen wird , deren Dichte so aussieht:$X$

Das Ergebnis ist eindeutig symmetrisch und nicht normal. Der Skalierungsparameter ist hier unwichtig, sodass wir ihn festlegen können. 1. Die sorgfältige Auswahl des Formparameters des Gammas ergibt die erforderliche Kurtosis:

1. Die Varianz dieses Doppel-Gammas ( ) lässt sich leicht anhand der Gammavariable berechnen, auf der es basiert: .$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. Das vierte zentrale Moment der Variablen ist dasselbe wie , das für ein Gamma ( )$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Als Ergebnis lautet die Kurtosis . Dies ist wenn , was passiert, wenn ;$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(b) Wir könnten auch ein Beispiel als Maßstabsmischung zweier Uniformen erstellen. Sei und sei und sei . Wenn man bedenkt, dass symmetrisch ist und einen endlichen Bereich hat, muss . Die Schiefe wird auch 0 sein und zentrale Momente und rohe Momente werden gleich sein.$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

In ähnlicher Weise ist und daher ist die Kurtosis$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Wenn wir , beträgt die Kurtosis 3 und die Dichte sieht folgendermaßen aus:$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

(c) Hier ist ein lustiges Beispiel. Sei , für .$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

Sei eine 50: 50-Mischung aus und :$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

nach Symmetrie ist (wir brauchen auch , um endlich zu sein, aber wenn endlich ist, haben wir das)$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

nach Symmetrie (und der Tatsache, dass der absolute 3. Moment existiert) ist die Neigung = 0

4. Moment:$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

Kurtosis =$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

Wenn also , ist Kurtosis 3. Dies ist der oben dargestellte Fall.$\lambda=\frac12$

(d) Alle meine Beispiele waren bisher symmetrisch, da symmetrische Antworten einfacher zu erstellen sind - aber auch asymmetrische Lösungen sind möglich. Hier ist ein diskretes Beispiel.

Wie Sie sehen, sieht keines dieser Beispiele besonders "normal" aus. Es wäre einfach, eine beliebige Anzahl von diskreten, kontinuierlichen oder gemischten Variablen mit denselben Eigenschaften zu erstellen. Während die meisten meiner Beispiele als Gemische konstruiert wurden, haben Gemische nichts Besonderes , außer dass sie oft eine bequeme Möglichkeit sind, Verteilungen mit Eigenschaften so zu gestalten, wie Sie es möchten, ein bisschen wie beim Erstellen von Dingen mit Lego.

Diese Antwort enthält einige zusätzliche Details zur Kurtosis, die einige der Überlegungen zur Konstruktion anderer Beispiele etwas klarer machen sollten.

Sie könnten auf ähnliche Weise mehr Momente abgleichen, obwohl dies mehr Aufwand erfordert. Da jedoch die MGF der Normalverteilung existiert, können Sie nicht alle ganzzahligen Momente einer Normalverteilung mit einer nicht normalen Verteilung abgleichen, da dies bedeuten würde, dass ihre MGFs übereinstimmen, was impliziert, dass die zweite Verteilung ebenfalls normal war.

Gute Punkte werden von Glen_b gemacht. Ich möchte nur die Dirac-Delta-Funktion als zusätzliches Mahlgut für die Mühle berücksichtigen. Wie Wikipedia bemerkt, "ist die DDF eine verallgemeinerte Funktion oder Verteilung auf der reellen Zahlenlinie, die überall Null ist, außer bei Null, mit einem Integral von Eins über die gesamte reelle Linie", mit der Folge, dass alle höheren Momente der DDF sind Null.

Paul Dirac wendet es in seinem 1931 erschienenen Buch The Principles of Quantum Mechanics auf die Quantenmechanik an, doch seine Ursprünge reichen zurück bis Fourier, Lesbesgue, Cauchy und andere. Die DDF verfügt auch über physikalische Analoga bei der Modellierung der Verteilung, z. B. des Risses eines Schlägers, der auf einen Baseball trifft.