Stichprobenverteilung des Radius der 2D-Normalverteilung

Die bivariate Normalverteilung mit Mittelwert $\mu$ und Kovarianzmatrix $\Sigma$ kann in Polarkoordinaten mit Radius $r$ und Winkel umgeschrieben werden$\theta$ . Meine Frage lautet: Was ist die Stichprobenverteilung von r , dass der Abstand von einem Punkt x zu der geschätzten Mitte ˉ x gegeben , um die Probe Kovarianzmatrix S ?$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Hintergrund: Der wahre Abstand $r$ von einem Punkt $x$ zum Mittelwert $\mu$ folgt einer Hoyt-Verteilung . Mit den Eigenwerten $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ von $\Sigma$ und $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ ist sein Formparameter $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ , und sein Skalierungsparameter ist$\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$ . Es ist bekannt, dass die kumulative Verteilungsfunktion die symmetrische Differenz zwischen zwei Marcum-Q-Funktionen ist.

Die Simulation legt nahe, dass das Einfügen von Schätzungen und S für μ und Σ in das echte cdf für große Stichproben funktioniert, nicht jedoch für kleine Stichproben. Das folgende Diagramm zeigt die Ergebnisse von 200 Mal$\bar{x}$$S$$\mu$$\Sigma$

• simulating 20 2D normal vectors for each combination of given $q$ ($x$-axis), $\omega$ (rows), and quantile (columns)
• for each sample, calculating the given quantile of the observed radius $\hat{r}$ to $\bar{x}$
• for each sample, calculating the quantile from the theoretical Hoyt (2D normal) cdf, and from the theoretical Rayleigh cdf after plugging in the sample estimates $\bar{x}$ and $S$.

Wenn sich 1 nähert (die Verteilung wird kreisförmig), nähern sich die geschätzten Hoyt-Quantile den geschätzten Rayleigh-Quantilen, die von q nicht beeinflusst werden . Wenn ω wächst, nimmt die Differenz zwischen den empirischen und den geschätzten Quantilen zu, insbesondere im Ende der Verteilung.$q$$q$$\omega$

Wie Sie in Ihrem Beitrag erwähnt haben, kennen wir die Verteilung der Schätzung von wenn wir μ erhalten, damit wir die Verteilung der Schätzung von ^ r 2 t r u e des wahren r 2 kennen .$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Wir wollen die Verteilung von wobeix

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$ are expressed as column vectors.

Wir machen jetzt den Standardtrick

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ where $(1)$ arises from the equation $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$ and its transpose.

$\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ as the sum of two independent random variables. We know the distributions of the $\widehat{r^2_{true}}$ and $(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$ and so we are done via the standard trick using that characteristic functions are multiplicative.

Edited to add:

$||x_i-\mu||$ is Hoyt so it has pdf

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ where $I_0$ is the $0^{th}$ modified Bessel function of the first kind.

This means that the pdf of $||x_i-\mu||^2$ is

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

To ease notation set $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$, $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ and $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$.

The moment generating function of $||x_i-\mu||^2$ is

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

Thus the moment generating function of $\widehat{r^2_{true}}$ is

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ and the moment generating function of $||\overline{x} - \mu||^2$ is $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

This implies that the moment generating function of $\widehat{r^2}$ is

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

Applying the inverse Laplace transform gives that $\widehat{r^2}$ has pdf

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$