Warum nicht Beta (1,1) als Grenzvermeidung vor einem transformierten Korrelationsparameter verwenden?

In Bayesian Data Analysis , Kapitel 13, Seite 317, zweiter vollständiger Absatz, in den Modal- und Verteilungsnäherungen, haben Gelman et al. schreiben:

Wenn der Plan darin besteht, die Inferenz durch den posterioren Modus von [dem Korrelationsparameter in einer bivariaten Normalverteilung] zusammenzufassen, würden wir die vorherige Verteilung von U (-1,1) durch p ( ρ ) ∝ ( 1 - ρ ) ( 1 ) ersetzen + ρ ) , was einem Beta (2,2) für den transformierten Parameter ρ + $\rho$$p(\rho) \propto (1 - \rho)(1 + \rho)$ . Die vorherige und die resultierende Dichte sind an den Grenzen Null und daher wird der hintere Modus niemals -1 oder 1 sein. Die vorherige Dichte fürρist jedoch in der Nähe der Grenzen linear und widerspricht somit keiner Wahrscheinlichkeit.$\frac{\rho + 1}{2}$$\rho$

Unten finden Sie eine grafische Darstellung des PDF für die Beta (2,2) -Distribution.

Obwohl das Diagramm für die Domäne [0,1] angegeben ist, ist die Form für die Domäne [-1,1] dieselbe, die durch Ausführen der Umkehrung der im obigen Zitat beschriebenen Transformation erhalten wird. Dies ist eine ziemlich informative Verteilung! Es gibt ungefähr die siebenfache Dichte von als beiρ+$\frac{\rho + 1}{2} = 0.5$$\frac{\rho + 1}{2} = 0.3,0.97$$\rho = 0$$\delta$$\delta$$\delta \rightarrow 0$

Das Problem mit diesem Prior ist natürlich, dass die Dichte nahe Null sehr stark abfällt, was der Wahrscheinlichkeit widersprechen kann, dass sie auf einen Raum zeigt, der sehr nahe an einer Grenze liegt. Was mich zu meiner Frage bringt:

Warum nicht einfach den Prior des transformierten Korrelationsparameters auf Beta (1,1) setzen? Weil die Beta-Verteilungsdichte für Null ist$\frac{\rho + 1}{2} = 0,1$$\rho = 0$

$0 < \frac{\rho + 1}{2} < 1$

$\rho=-1$

Das Buch möchte, dass der Prior an den Grenzen linear ist, wodurch Beta (2,2) aus allen Beta-Distributionen eindeutig ausgewählt wird. Das Buch erklärt jedoch nie genau, warum Linearität so wichtig ist.