Wenn , ist die bedingte Verteilung. von ist . hat eine marginale Verteilung. von Poisson ( ) ist eine positive Konstante.
Zeigen , dass, als , in der Verteilung.( Y - E ( Y ) ) / √
Könnte jemand Strategien vorschlagen, um dies zu lösen. Es scheint, als müssten wir CLT (Central Limit Theorem) verwenden, aber es scheint schwierig, allein Informationen über zu erhalten. Gibt es ein RV, das eingeführt werden kann, um eine Stichprobe von zu entnehmen ?
Dies sind Hausaufgaben, daher werden Hinweise geschätzt.
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user42102
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Antworten:
Ich eine Lösung basierend auf Eigenschaften charakteristischer Funktionen, die wie folgt definiert sind: Wir wissen, dass die Verteilung eindeutig durch die charakteristische Funktion definiert ist, daher werde ich beweisen, dass und daraus folgt die gewünschte Konvergenz.ψ ( Y - E Y ) / √
Dazu muss ich den Mittelwert und die Varianz von berechnen , für die ich das Gesetz der Gesamterwartungen / Varianz verwende - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Ich habe verwendet, dass der Mittelwert und die Varianz der Poisson-Verteilung und Mittelwert und sind Die Varianz von ist und . Nun kommt der Kalkül mit charakteristischen Funktionen. Zuerst schreibe ich die Definition von alsY
Nun berechnen wir die charakteristische Funktion für Verwendung der Taylor-Expansion für Am Ende verwenden wir die Eigenschaften charakteristischer Funktionen Ich bin über den Kalkül gesprungen, weil er mittlerweile zu lang ist ...Y exp(x)
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Dies kann über die Beziehung zur nichtzentralen Chisquadratverteilung gezeigt werden. Es gibt einen guten Wikipedia-Artikel zu dem, auf den ich mich frei beziehen werde! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution
Sie haben angegeben, dass chisquadratisch mit Freiheitsgraden für . Hier hat die Poisson-Verteilung mit Erwartung .Y|N=n 2n n=0,1,…,∞ N θ
Dann haben wir, dass die Dichtefunktion von (bedingungslos) unter Verwendung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit geschrieben werden kann als Dies ist fast die Dichte einer nicht zentralen chisquared Variablen, außer dass der Freiheitsgradparameter , was wirklich undefiniert ist. (Dies ist im Definitionsabschnitt des Wikipedia-Artikels angegeben).Y k=0
Um etwas genau definiert zu erhalten, ersetzen wir die obige Formel durch , das ist die Dichte eines nichtzentrale ChiQuadrat Variable mit Freiheitsgraden und nicht-Zentralitäts Parameter . In unserer Analyse müssen wir uns also daran erinnern, das Limit zu nehmen, wenn nachdem wir das Limit . Dies ist unproblematisch, da in der Grenze von die Wahrscheinlichkeit vonk2θk→0θ→∞θ→∞N=0
Verwenden Sie nun für jedes feste das Ergebnis im Wiki, abschnittsbezogene Verteilungen und normale Näherungen, die die gesuchte Standardnormalgrenze für jedes . Nehmen Sie dann die Grenze, wenn auf Null geht, was das Ergebnis ergibt. k kk k k
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