Angenommen, Sie erhalten zwei Objekte, deren genaue Position unbekannt ist, die jedoch gemäß Normalverteilungen mit bekannten Parametern verteilt sind (z. B. und . Wir können annehmen, dass dies beide bivariate Normalen sind, so dass die Positionen durch eine Verteilung über Koordinaten beschrieben werden (dh und sind Vektoren, die die erwarteten Koordinaten für bzw. ). Wir gehen auch davon aus, dass die Objekte unabhängig sind.
Weiß jemand, ob die Verteilung des quadratischen euklidischen Abstands zwischen diesen beiden Objekten eine bekannte parametrische Verteilung ist? Oder wie kann man das PDF / CDF für diese Funktion analytisch ableiten?
Antworten:
Die Antwort auf diese Frage findet sich im Buch Quadratische Formen in Zufallsvariablen von Mathai und Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).
Wie die Kommentare verdeutlichen, müssen Sie die Verteilung von wobei z = a - b einer bivariaten Normalverteilung mit mittlerem μ und Kovarianzmatrix Σ folgt . Dies ist eine quadratische Form in der bivariaten Zufallsvariablen z .Q = z21+ z22 z= a - b μ Σ z
Kurz gesagt, ein schönes allgemeines Ergebnis für den dimensionalen Fall, in dem z ∼ N p ( μ , Σ ) und Q = p ∑ j = 1 z 2 j ist, dass die Momenterzeugungsfunktion E ( e t Q ) = e t ∑ ist p j = 1 b 2 j λ jp z∼ Np( μ , Σ )
Das gesamte Kapitel 4 des Buches ist der Darstellung und Berechnung von Dichten und Verteilungsfunktionen gewidmet, was keineswegs trivial ist. Ich bin mit dem Buch nur oberflächlich vertraut, aber ich habe den Eindruck, dass alle allgemeinen Darstellungen in Form von unendlichen Reihenerweiterungen vorliegen.
In gewisser Weise lautet die Antwort auf die Frage also Ja, die Verteilung des quadratischen euklidischen Abstandes zwischen zwei bivariaten Normalenvektoren gehört zu einer bekannten (und gut untersuchten) Klasse von Verteilungen, die durch die vier Parameter parametrisiert werden und b 1 , b 2 ∈ R . Ich bin mir jedoch ziemlich sicher, dass Sie diese Distribution nicht in Ihren Standardlehrbüchern finden werden.λ1, λ2> 0 b1, b2∈ R
Beachten Sie außerdem, dass und b nicht unabhängig sein müssen. Eine gemeinsame Normalität ist ausreichend (was automatisch ist, wenn sie unabhängig und normal sind), dann folgt die Differenz a - b einer Normalverteilung.ein b a - b
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Suchen Sie zweitens nach der Verteilung der Differenzvektorlänge oder des radialen Abstands vom Ursprung, der nach Hoyt verteilt ist :
Eine allgemeinere Verteilung ergibt sich, wenn Sie eine voreingenommene Differenz (verschobener Ursprung) aus Ballistipedia berücksichtigen :
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Warum testen Sie es nicht aus?
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