Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen

Ist die Behauptung, dass Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen selbst unabhängig sind, wahr?

Ich habe gesehen, dass dieses Ergebnis oft implizit in einigen Beweisen verwendet wird, zum Beispiel beim Nachweis der Unabhängigkeit zwischen dem Stichprobenmittelwert und der Stichprobenvarianz einer Normalverteilung, aber ich konnte keine Rechtfertigung dafür finden. Es scheint, dass einige Autoren dies als gegeben ansehen, aber ich bin nicht sicher, ob dies immer der Fall ist.

Die allgemeinste und abstrakteste Definition von Unabhängigkeit macht diese Behauptung trivial und liefert gleichzeitig eine wichtige qualifizierende Bedingung: Dass zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, bedeutet, dass die von ihnen erzeugten Sigma-Algebren unabhängig sind. Da die durch eine messbare Funktion einer Sigma-Algebra erzeugte Sigma-Algebra eine Subalgebra ist, haben messbare Funktionen dieser Zufallsvariablen erst recht unabhängige Algebren, von denen diese Funktionen unabhängig sind.

(Wenn eine Funktion nicht messbar ist, erstellt sie normalerweise keine neue Zufallsvariable, sodass das Konzept der Unabhängigkeit nicht einmal Anwendung findet.)

Lassen Sie uns die Definitionen auspacken, um zu sehen, wie einfach dies ist. Es sei daran erinnert, dass eine Zufallsvariable $X$ eine reelle Funktion ist, die im "Stichprobenraum" $\Omega$ (die Menge der über die Wahrscheinlichkeit untersuchten Ergebnisse).

1. Eine Zufallsvariable $X$ wird anhand der Wahrscheinlichkeiten untersucht, dass ihr Wert in verschiedenen Intervallen von reellen Zahlen liegt (oder allgemeiner, Mengen, die auf einfache Weise aus Intervallen konstruiert wurden: Dies sind die Borel-messbaren Mengen von reellen Zahlen).

2. Zu jeder Borel-Messmenge gehört das Ereignis X ∗ ( I ), das aus allen Ergebnissen ω besteht, für die X ( ω ) in I liegt .$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. Die von erzeugte Sigma-Algebra wird durch die Sammlung all dieser Ereignisse bestimmt.$X$

4. Die naive Definition sagt zwei Zufallsvariablen und Y sind unabhängig „ wenn ihre Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.“ Das heißt, wenn ich eine messbare Borel-Menge und J eine andere bin , dann$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Aber in der Sprache der Ereignisse (und Sigma-Algebren) ist das dasselbe wie

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Betrachten wir nun zwei Funktionen und nehmen wir an, dass f ∘ X und g ∘ Y Zufallsvariablen sind. (Der Kreis ist eine funktionale Zusammensetzung: ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) . Dies bedeutet, dass f eine "Funktion einer Zufallsvariablen" ist.) Hinweis - Dies ist nur ein Elementarwert Mengenlehre - das$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

Mit anderen Worten, jedes von (links) erzeugte Ereignis ist automatisch ein von X erzeugtes Ereignis$f\circ X$$X$ (wie in der Form auf der rechten Seite dargestellt). Deshalb gilt (5) automatisch für und g ∘ Y : es gibt nichts zu prüfen!$f\circ X$$g\circ Y$

NB Sie können "real-value" überall durch "mit Werten in " ersetzen, ohne dass Sie irgendetwas anderes in irgendeiner materiellen Weise ändern müssen. Dies deckt den Fall von vektorwertigen Zufallsvariablen ab.$\mathbb{R}^d$

Betrachten Sie diesen "weniger fortgeschrittenen" Beweis:

Lassen , wobei X , Y unabhängige Zufallsvariablen und f , g sind messbare Funktionen. Dann gilt: P { f ( X ) ≤ x  und  g ( Y ) $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$ Unter Verwendung der Unabhängigkeit von X und Y ist P ( { X ∈ { w ∈ R n : f (

$g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nicht als Alternative, sondern als Ergänzung zu den bisherigen brillanten Antworten sehr intuitiv ist.

Normalerweise denken wir das $X$$Y$$X$$Y$