Was ist, wenn die Wahrscheinlichkeiten in der „.632-Regel“ nicht gleich sind?

Diese Frage leitet sich aus dieser Frage nach der ".632-Regel" ab. Ich schreibe unter besonderer Bezugnahme auf die Antwort / Notation von user603, soweit dies die Sache vereinfacht.

Die Antwort beginnt mit einer Probe der Größe $n,$ mit dem Ersatz von $n$ verschiedenen Elementen in der Sammlung (Call) es N. Die Wahrscheinlichkeit , dass die $i^{th}$ Probe $s_i$ von einem bestimmten Elemente unterscheidet $m$ von N ist dann $(1 - 1/n).$

In dieser Antwort haben alle Elemente von N die gleiche Chance, zufällig gezogen zu werden.

Meine Frage lautet: Nehmen wir stattdessen an, dass in der obigen Frage die zu zeichnenden Elemente so sind, dass sie normal verteilt sind. Das heißt, wir unterteilen die Standardnormalkurve von $Z = -4$ bis $Z = 4$ in (sagen wir) 100 gleich lange Teilintervalle. Jedes der 100 Elemente in N hat eine Wahrscheinlichkeit, gezeichnet zu werden, die der Fläche entspricht, die von der Kurve in ihrem jeweiligen Intervall begrenzt wird.

Mein Denken war wie folgt:

Die Argumentation ähnelt der in der verknüpften Antwort, denke ich. Die Wahrscheinlichkeit, dass $s_i \ne m$ mit $m$ ein Element von N ist, ist $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ wobei $F_i$ die Wahrscheinlichkeit ist, s i zu zeichnen .$s_i.$

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein bestimmtes Element m in der Stichprobe S der Größe n befindet, beträgt

= 1 - n ≤ 1 ( 1 - F i )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Eine Berechnung scheint zu zeigen, dass die Antwort mit zunehmender Länge der Teilintervalle gegen dieselbe Zahl wie im ersten Fall konvergiert (Wahrscheinlichkeiten von alle gleich).$s_i$

Dies scheint (für mich) nicht intuitiv zu sein, da die Konstruktion Elemente von N zu werfen scheint, die selten sind, so dass ich eine Zahl kleiner als 0,632 erwarten würde.

Auch wenn dies richtig ist, hätten wir es wohl getan

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

was ich noch nicht als wahr oder falsch kenne.

Bearbeiten: Wenn es wahr ist, würde es wahrscheinlich einige verallgemeinern.

Vielen Dank für alle Einblicke.

Die Frage fragt nach dem einschränkenden Verhalten von

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

wenn wächst und das F i gleichmäßig schrumpft, so dass (a) alle nicht negativ sind und (b) sie sich zu einer Einheit summieren. (Diese ergeben sich aus dem Bau des F $n$$F_i$ $F_i$ und die Axiome der Wahrscheinlichkeit.)

Per Definition ist dieses Produkt das Exponential seines Logarithmus:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

$\log$ , legt dies fest

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

$\phi_i$$[0, F_i]$$-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

Folglich

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED.

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A closer look at this analysis establishes that the error in this approximation (which will always be a lower bound) is no greater in size than

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ For instance, the division of a standard Normal distribution into $n=400$ slices between $-4$ and $4$ produces a maximum $F_i$ near the mode $0$, where it will approximately equal the area of a rectangle there, $\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$. The foregoing bound establishes the value of formula $(1)$ will be within $0.011$ of its limiting value. The actual error is an order of magnitude less, $0.001041$. Here's the calculation in R (which we can trust because none of the $f_i$ is truly small relative to $1$):

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

Indeed, 1 - prod(1-f) is $0.6331615\ldots$ whereas $1-\exp(-1)$ is $0.6321206\ldots$.