MLE des Positionsparameters in einer Cauchy-Verteilung

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Nach der Zentrierung können die beiden Messungen x und −x als unabhängige Beobachtungen aus einer Cauchy-Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angenommen werden:

f(x:θ)= 1π(1+(xθ)2) ,<x<

Zeigen Sie, dass, wenn x21 der MLE von θ 0 ist, aber wenn x2>1 es zwei MLE von θ , die gleich ± x21

Ich denke, um die MLE zu finden, muss ich die Log-Wahrscheinlichkeit unterscheiden:

=Σ2(xi-θ)dldθ = =2(-x-θ)2(xiθ)1+(xiθ)2 = +2(x-θ)2(xθ)1+(xθ)2 =02(xθ)1+(xθ)2 =0

So,

=2(x+ &thgr;)2(xθ)1+(xθ)2 = 2(x+θ)1+(xθ)2

was ich dann vereinfacht habe

5x2=3θ2+2θx+3

Jetzt bin ich gegen eine Wand gestoßen. Ich habe wahrscheinlich irgendwann einen Fehler gemacht, bin mir aber nicht sicher, wie ich die Frage beantworten soll. Kann jemand helfen?

user123965
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Erklären Sie bitte, warum Sie x in -x und + x aufgeteilt haben. Dies ist meine Hausaufgabe und ich bleibe bei diesem Schritt stecken. Ich vermute, Sie haben Newtons Raphson-Methode angewendet. Aber ich verstehe nicht, wie ich es anwenden soll. Kannst du es mir bitte sagen?
user89929

Antworten:

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Ihre Berechnungen enthalten einen Tippfehler. Die erste Bestellbedingung für ein Maximum ist:

Lθ=02(x+θ)1+(x+θ)22(xθ)1+(xθ)2=0(x+θ)+(x+θ)(xθ)2(xθ)(xθ)(x+θ)2=02θ+(x+θ)(xθ)[xθ(x+θ]=02θ2θ(x+θ)(xθ)=02θ2θ(x2θ2)=02θ(1x2+θ2)=02θ(θ2+(1x2))=0

x21θ^=0

x2>12θ[θ2(x21)]=0 so, apart from the candidate point θ=0 you also get

Lθ=0,forθ^=±x21

You also have to justify why in this case θ^=0 is no longer an MLE.

ADDENDUM

For x=±0.5 the graph of the log-likelihood is enter image description here

while for x=±1.5 the graph of the log-likelihood is, enter image description here

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"

Alecos Papadopoulos
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Thanks! I can't see why θ=0 would no longer be an MLE though
user123965
Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions
Alecos Papadopoulos
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+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…
random_user
@random_user Thanks! - I took the liberty to incorporate the plot in the answer.
Alecos Papadopoulos
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2nd derivative positive so indeed a local minimum
Alecos Papadopoulos