Gesamterwartungssatz für Poisson-Prozesse

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Ich habe zwei unabhängige Poisson-Prozesse und mit den Ankunftsraten bzw. . Die erwartete Zeit für das Eintreffen des nächsten Elements für den zusammengeführten Prozess sollte nun .ABλAλB1λA+λB

Angenommen, ist die Ankunftszeit für das nächste Element des kombinierten Prozesses und oder als Ereignisse, bei denen die Elemente aus den Prozessen oder . Mit dem Gesetz der totalen Erwartungen erhalten wirTA+B{X=A}{X=B}AB

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λAλAλA+λB+1λBλBλA+λB=2λA+λB
Was mache ich falsch? Vielen Dank.
user90476
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Das Problem scheint zu sein, dass die bedingte Erwartung E[TX=A] nicht 1/a sobald Sie wissen, dass die erste Ankunft von Prozess A .
Heropup
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@heropup Danke für die Antwort. Angesichts der exponentiellen Verteilung der nächsten Ankunftszeit bin ich mir nicht sicher, warum es nicht 1λA .
user90476

Antworten:

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Heropup ist richtig. Das Problem ist, dass, sobald Sie wissen, dass , X nicht nur aus dem Exponential mit der Rate λ A gezogen wird, da Sie auch wissen, dass der Abtastwert klein genug sein musste, um den Vergleich mit dem hypothetischen Abtastwert von B zu gewinnen .X=AXλAB

Also, da die Dichte , daß ist das renormierten punktweise Produkt der Dichte mit einem exponentiellen Rate λ A und dem rechten CDF mit einem exponentiellen Rate λ B . Dies ergibt eine exponentielle Dichte mit Rate λ A + λ B . Damit:X=AλAλBλA+λB

wie gewünscht.

E(TA+B)=E(TA+BX=A)P[X=A]+E(TA+BX=B)P[X=B]=1λA+λBλAλA+λB+1λA+λBλBλA+λB=1λA+λB
Neil G.
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Pr(TA+B>tX=A)=Pr(TA+B>t & X=A)Pr(X=A)(1)=Pr(t<TA<TB)Pr(X=A),
and Pr(t<TA<TB)=t(ueλAueλBv(λBdv))(λAdu)=teλAueλBu(λAdu)=e(λA+λB)tλAλA+λB.
(1)e(λA+λB)t,Pr(TA+B>t).

Somit sind die Ereignisse und tatsächlich unabhängig.[TA+B>t][X=A]

Michael Hardy
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