Fingerabdruck beweisen

Sei zwei ganze Zahlen aus dem IntervallSei eine zufällige Primzahl mitBeweisen Sie, dass $a \neq b$ $[1, 2^n].$ $p$ $1 \le p \le n^c.$

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1}) .

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1}).$

Hinweis: Infolge des Primzahlsatzes sind genau $n/ \ln(n) \pm o(n/\ln(n))$ viele Zahlen aus $\{ 1, \ldots, n \}$ Primzahlen.

Schlussfolgerung: Wir können $n$ Bits zu $O(\log(n))$ Bits komprimieren und eine recht kleine falsch-positive Rate erhalten.

Meine Frage ist, wie kann ich beweisen, dass

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1})

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1})$ ?

probability-theory information-theory coding-theory number-theory user1374864
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Da die Schwierigkeit im mathematischen Teil zu sein scheint, fühle ich diese Frage zu Hause auf mehr wäre Mathematik . Angesichts der Anwendung auf die Komprimierung denke ich jedoch, dass die Frage auch hier akzeptabel sein kann. Ich bin offen dafür, die Frage zu migrieren, weil sie woanders besser passt, oder die Frage hier zu lassen, weil sie hier gestellt wurde und nicht stark vom Thema abweicht.

Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'

Dies ist auf Mathematik gekreuzt .

Kaveh

Antworten:

Die Wahrscheinlichkeit dass eine einheitlich gewählte zufällige Primzahl zwischen und erfüllt, ist die Anzahl der Primzahlen in diesem Bereich, die erfüllen, geteilt durch die Gesamtzahl von Primzahlen in diesem Bereich. Schreiben von wenn wahr ist, und wenn falsch ist, und für die Anzahl der Primzahlen kleiner als : $P$ $1$ $n^c$ $a \equiv b \mod{p}$ $a \equiv b \mod{p}$ $[C] = 1$ $C$ $[C] = 0$ $C$ $\pi(x)$ $x$

P = \frac{\sum_{p \leq n^{c}} [p prime] [p ∣ (a - b)]}{π (n^{c})}

$P = \dfrac{\sum\limits_{p\le n^c} [p\text{ prime}] [p \mid (a-b)]}{\pi(n^c)}$

Da gibt es höchstens verschiedene Primzahlen, die teilen . Der Primzahlsatz gibt direkt eine Obergrenze für den Nenner an. Also: $|a-b| \le 2^n$ $n$ $a-b$

P \leq \frac{n}{n^{c} / \ln (n^{c}) + o (n^{c} / \ln (n^{c}))} = \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}} (1 + o (1))

$P \le \dfrac{n}{n^c/\ln(n^c) + o(n^c/\ln(n^c))} = \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}} (1+o(1))$

Aus einer asymptotischen Version des Primzahlsatzes erhalten Sie keine genaue Grenze. Eine genaue Grenze ist, wenn ich mich nicht irre, für . Unter Verwendung dieser Grenze sehen wir, dass wenn dann $\pi(x) \gt \dfrac{x}{\ln(x)}$ $x \ge 11$ $n^c \ge 11$

P \leq \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}}

$P \le \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}}$

Anwendung: Wir können (für deren genaue Darstellung Bits erforderlich sind) ungefähr komprimieren, indem wir für mehrere zufällige Primzahlen speichern . Wenn wir Primzahlen verwenden, die unabhängig vom Wert von , erfordert die Darstellung Bits, um die modulo-Werte für jede Auswahl zu speichern Prime. Die Wahrscheinlichkeit einer Kollision mit jeder Primzahl beträgt höchstens . Um zu bewerten, wie die Genauigkeit mit zunimmt, wäre eine weitere Analyse erforderlich. $a \le 2^n$ $n$ $a \mod p$ $p_i$ $k$ $a$ $k \, \lceil c\,\log_2(n) \rceil = O(k \log(n))$ $c \ln(n) / n^{c-1} = O(\ln(n)/n^{c-1})$ $k$

Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'
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