Sagt die Spektralgraphentheorie etwas über den Graphisomorphismus aus?

Gibt es Forschung oder gibt es Ergebnisse, die den Graphisomorphismus im Kontext der Spektralgraphentheorie diskutieren?

Zwei bekannte Theoreme der Spektralgraphentheorie sind:

1. Zwei Graphen werden als Isospektral oder Cospektral bezeichnet, wenn die Adjazenzmatrizen der Graphen gleiche Mehrfachmengen von Eigenwerten aufweisen.

2. Fast alle Bäume sind cospektral.

3. Die Eigenwerte der Adjazenzmatrix eines Graphen sind beim erneuten Markieren unveränderlich (dies ist jedoch keine notwendige und ausreichende Bedingung).

Ist der Graphisomorphismus außerdem "leicht" zu lösen?

Der Graphisomorphismus wurde bereits 1971 zusammen mit Primalitätstests in Cooks berühmtem Artikel über die NP-Vollständigkeit erwähnt. Cook erwähnt, dass er die NP-Vollständigkeit beider Probleme nicht nachweisen konnte. Heutzutage wissen wir, dass der Primalitätstest in P ist, aber der Status des Graphisomorphismus ist noch unbekannt. Die meisten Experten vermuten, dass es sich um "NP-Intermediate" handelt, dh nicht in P, aber nicht NP-vollständig. Einige Vermutungen, dass es in quasipolynomialer Zeit lösbar sein sollte (Algorithmen, die in der Zeit laufen ). Der aufgrund von Luks derzeit bekannteste Algorithmus hat eine Laufzeit von . Es verwendet die sogenannte gruppentheoretische Methode.$2^{\log^{O(1)} n}$$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Die beiden häufigsten Ansätze sind Individualisierung / Verfeinerung und die gruppentheoretische Methode. Der erstere Ansatz versucht, Scheitelpunkte eines Graphen mit Scheitelpunkten des anderen abzugleichen. Bei einem Scheitelpunkt des Grades , der zum ersten Graphen gehört, kann er nur mit einem Scheitelpunkt des Grades im anderen Graphen übereinstimmen. Dies bietet jedoch keine Einsparung, wenn beide Graphen regelmäßig sind. Individualisierung / Verfeinerung ist ein Rahmen für die Erzeugung detaillierterer "Arten" von Scheitelpunkten.$d$$d$$d$

Es ist möglich, dass ein ähnlicher Ansatz die Spektralmethode verbessern kann (was, wie angegeben, für Kospektraldiagramme fehlschlägt), aber mir sind keine Arbeiten in dieser Richtung bekannt (obwohl sie existieren könnten; ich bin kein Experte auf diesem Gebiet).

Die gruppentheoretische Methode reduziert den Graphisomorphismus auf das Problem, Generatoren für die Automorphismusgruppen von Graphen zu finden. Bei zwei Graphen besteht die Idee darin, Generatoren für zu berechnen und zu prüfen, ob einer von ihnen einen Scheitelpunkt von mit einem Scheitelpunkt von . Weitere Einzelheiten finden Sie beispielsweise in den Vorlesungsunterlagen von Arvind.$G_1,G_2$$\operatorname{Aut}(G_1 \cup G_2)$$G_1$$G_2$

Einen aktuellen Überblick über den Stand der Technik finden Sie in einem Artikel von Babai. Babai ist einer der Hauptforscher in der Region.

Der praktische Graphisomorphismus ist ein ganz anderes Thema. Eine aktuelle Übersicht finden Sie in einem Artikel von McKay, Autor des beliebten Pakets nauty.