Sie müssen sich daran erinnern, dass die diagonalen Eckpunkte gleich gefärbt sein können! Ihre Formel berücksichtigt dies nicht. Wir können die chromatische Zahl eines Graphen über das Einschluss-Ausschluss-Prinzip ermitteln. Es ist eine sehr allgemeine Zähltechnik, mit der wir komplexe Strukturen zählen können, wenn wir bestimmte Grenzen für bestimmte Teilmengen nachweisen können.
Die Hauptidee ist, dass wir alle möglichen Arten zählen, wie eine Eigenschaft passiert. Dann entfernen wir einige "schlechte" Gegenstände. Möglicherweise haben wir jedoch zu viel entfernt und müssen einige "gute" Elemente wieder hinzufügen. Dies geht hin und her, bis wir alle Teilmengen durchlaufen haben.
Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip sagt uns, dass bei gegebenem Grundsatz , die Anzahl der Elemente von X, die in keiner der Teilmengen A i liegen, ist
∑ I ⊆ [ n ] ( - 1 ) | Ich | | A I | , wo |X|=nXAi
∑I⊆[n](−1)|I||AI|, where I is the set of indices in X and AI=⋂i∈IAi
Sei die Anzahl der Farben und sei X die Menge aller möglichen Färbungen (dh | X | = λ 4 ) und sei A e = { Färbung : e = ( i , j ) ∈ E , Farbe ( i ) = Farbe ( j ) }λX|X|=λ4
Ae={coloring:e=(i,j)∈E,color(i)=color(j)}
Bevor wir unser endgültiges Polynom erhalten, müssen wir die Größe unserer Mengen und die Größe aller sich überschneidenden Teilmengen zählen.Ae
Beachten Sie, dass . Dies liegt an der Tatsache, dass wir nur G färben, aber immer die gleichen Farben für benachbarte Eckpunkte auswählen. In Zukunft haben wir,|A12|=|A23|=|A34|=|A41|=λ3G
|A12∩A23|=|A23∩A34|=|A34∩A41|=|A41∩A12|=|A12∩A34|=|A41∩A23|=λ2
|Ae∩Ae′∩Ae′′|=λ|A12∩A23∩A34∩A41|=λ
λ4−4λ3+6λ2- - 4λ+λ=λ4−4λ3+6λ2- 3λ
Jetzt mit Einschluss-Ausschluss für dieses Problem zu zählen war nicht so schlecht, weil wir einen einfachen 4-Zyklus hatten. Wenn das Diagramm mehr Struktur hätte, würde es schnell ärgerlich werden, jede Kreuzungsgröße für alle möglichen Kreuzungen herauszufinden.