Motivation zur Volumenschätzung

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Welche konkreten und überzeugenden Anwendungen zur Abschätzung des Volumens von konvexen Polyedern wurden in den neueren Arbeiten zu Random-Walk-Methoden untersucht?

Diese Arbeiten zur Volumenschätzung erwähnen die numerische Integration als eine Motivation. Was sind Beispiele für Integrale, die Menschen in der Praxis berechnen möchten und die mit früheren Methoden nur sehr schwer zu berechnen sind? Oder gibt es eine andere überzeugende praktische Anwendung zur Berechnung des Volumens eines 1000-dimensionalen Polytops?

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains
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Ich frage mich, ob Sie auf physics.stackexchange.com mehr Antworten von dem Typ erhalten, nach dem Sie suchen. Für diejenigen von uns, die mit diesem speziellen Teilbereich der Theorie nicht vertraut sind, könnten Sie vielleicht einige Referenzen für hinzufügen "neuere Arbeiten zu Random-Walk-Methoden"?
Joshua Grochow
Weitere Überlegungen dazu nach dem Antworten und Stöbern. Einige Veröffentlichungen scheinen darauf hinzuweisen, oder gehen in die Richtung, dass die Berechnung des Polytopvolumens so etwas wie ein grundlegendes Problem in der Komplexitätstheorie darstellt. Dies ist nicht verwunderlich, da die Berechnung der Determinante ein weiteres Schlüsselproblem in der Komplexitätstheorie darstellt und die Determinante das Volumen eines Parallelpipeds ist. Eine vernünftige Antwort scheint zu sein, dass es tiefe oder natürliche Zusammenhänge in der Komplexitätstheorie zu geben scheint. Weitere Beweise dafür wären ein Zusammenhang mit einer bestimmten Komplexitätsklasse. Möglicherweise gibt es weitere Hinweise dazu.
vzn
Siehe auch mathoverflow, Algorithmus zum Ermitteln des Volumens komplexer Polytope . Ja, diese Frage oben fragt nach Anwendungen, nicht nach Algorithmen, aber einige der Algorithmuspapiere geben Motivationen / Anwendungen.
vzn

Antworten:

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Die Schätzung des Volumens eines konvexen Polytops und die damit verbundene Aufgabe der Probenahme aus diesem Polytop finden in der privaten Datenfreigabe Anwendung.

Das grobe Problem, das Sie lösen möchten, ist: Wenn Sie eine Sammlung von numerisch bewerteten Abfragen in einer Datenbank haben, finden Sie Antworten auf Fragen, die den tatsächlichen Antworten so nahe wie möglich kommen und gleichzeitig die unterschiedliche Vertraulichkeit gewährleisten. In einigen Bereichen von Parametern hat der optimale Algorithmus zur Lösung dieses Problems eine geometrische Beschreibung, und zur Implementierung wird von einem konvexen Polytop abgetastet. Siehe hier: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

Aaron Roth
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ss

Bei der Arbeit an quantitativen Informationsflüssen im Bereich der Computersicherheit wurden diese Methoden angewendet, um die Menge an vertraulichen Informationen abzuschätzen, die möglicherweise von einem bestimmten Programm übertragen werden. Hier erstellen wir ein Polyeder, das mögliche Zustände des Programms zu einem bestimmten Zeitpunkt seiner Ausführung darstellt, und möchten dann etwas über die Anzahl der möglichen Zustände abschätzen (dies hängt mit der Menge der freigegebenen Informationen zusammen). Daher versuchen sie an einem bestimmten Punkt in der Analyse, die Anzahl der im Polyeder enthaltenen ganzzahligen Punkte zu zählen. Das riecht nach Volumenschätzung (für mich).

Hier ist eine frühe Veröffentlichung, die repräsentativ ist:

Dies ist jedoch möglicherweise nicht genau das, wonach Sie suchen. Es sind Methoden erforderlich, um die Anzahl der Ganzzahlpunkte innerhalb des Polyeders zu zählen, die nicht dem Volumen des Polyeders entspricht. Ich glaube auch nicht, dass sie Polyeder der Dimension 1000 oder höher analysieren müssen (obwohl ich mir nicht sicher bin).

DW
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Vielen Dank. Das Problem, die Anzahl der ganzzahligen Lösungen für eine Reihe linearer Ungleichungen zu finden, ist meines Erachtens # P-vollständig ( math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf hat auch einige weitere Anwendungen). Die Schätzung des Volumens kann in Polyzeit erfolgen. Sie können anscheinend die letztere verwenden, um die erstere zu approximieren, aber ich suche wirklich nach direkten konkreten Anwendungen der Volumenschätzung.
Die Berechnung des Volumens eines Polytops ist ebenfalls # P-schwer. An sich sagt diese Tatsache wenig über Annäherungen aus.
Sasho Nikolov
P≠BPP
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@Turbo Offensichtlich beweist es nicht, dass P nicht BPP entspricht, da es sich bei diesen beiden Klassen nicht um ein Orakelmodell handelt. Ich glaube, dass die deterministische Annäherung des Volumens eines durch Ungleichungen dargestellten Polytops offen ist.
Sasho Nikolov
@SashoNikolov Wenn Sie dieses scheinbar einfache Problem kennen, wäre es nett, mathoverflow.net/questions/336369/… .
T ....
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Hari Narayanan hat kürzlich einen Artikel über das arXiv veröffentlicht, in dem er das Volumen eines konvexen Polytops schätzt, um bestimmte Ergebnisse über die Littlewood-Richardson (LR) -Koeffizienten zu belegen. Die LR-Koeffizienten sind bestimmte ganze Zahlen in der Darstellungstheorie, die in der geometrischen Komplexitätstheorie, der Teilchenphysik und vielen anderen Bereichen Anwendung finden (weitere Referenzen finden Sie in der Einleitung des obigen Dokuments). Wiederum wahrscheinlich nicht genau das, was Sie wollten, aber dennoch eine interessante Verbindung.

Joshua Grochow
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siehe zB: N-dimensionale Volumenschätzung von konvexen Körpern: Algorithmen und Anwendungen von Sharma, Prasanna, Aswal für ein Beispiel / eine Fallstudie zur Wirtschaftsprognose, dh zum Lieferkettenmanagement.

Unsere Methoden können verwendet werden, um den Informationsgehalt und die Unsicherheit in Abhängigkeitsbereichen in einem robusten Optimierungsrahmen zu quantifizieren. Wir zeigen Anwendungen im Supply Chain Management unter Bedingungen zukünftiger Unsicherheit.

Grundsätzlich besteht die Idee darin, dass ein Polytop ein "Zukunftsszenario" von Parametern einer Supply-Chain-Management-Konfiguration modellieren kann. das Unsicherheit (oder der "Fehler") im Modell / in der Schätzung wird als proportional zum Volumen des / der Polytope (s) angesehen. siehe Folien 3,4. das erlaubt dann:

  • quantitative Schätzung der Unsicherheit
  • Erzeugung gleichwertiger Informationen
  • Hilfe bei der Was-wäre-wenn-Analyse
vzn
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Vielen Dank. Diese Beispiele sind schön, aber ich finde es immer noch schwer zu glauben, dass sie gemeint sind, wenn Leute sagen, dass das Schätzen des Volumens eines hochdimensionalen konvexen Körpers eine der wichtigsten Anwendungen der Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methode ist.
Ich bin mir einig, dass das Beispiel in den Folien "Spielzeuggröße" in Bezug auf die Anzahl der Dimensionen ist, aber möglicherweise haben einige Probleme mit dem Lieferkettenmanagement in der Praxis große Dimensionen. Auch diese Forschungsrichtung scheint mir nahezulegen, dass sie in einigen Formen der Datenerfassung Anwendung finden könnte.
vzn