Permutationen mit verbotenen Teilfolgen

Lassen Sie bezeichnen die Menge { 1 , . . . , n } und C (n, k) bezeichnen die Menge aller k- Kombinationen von Elementen aus [ n ] ohne Wiederholung. Sei p = p 1 p 2 . . . p k ist ein k- Tupel in C ( n , k ) . Wir sagen, dass eine Permutation π : [ n ] → [ $[n]$$\{1,...,n\}$$k$$[n]$$p= p_1p_2...p_k$$k$$C(n,k)$ der Menge$\pi:[n]\rightarrow [n]$ vermeidet p, wenn es kein k-Tupel von ganzen Zahlen i 1 < i 2 <gibt . . . < i k so dass π ( i 1 ) = p 1$[n]$$p$$i_1<i_2<...<i_k$

Wenn beispielsweise dann vermeidet die Permutation 12453 134 als eine Untersequenz , während die Permutation 1 2 3 5 4 dies nicht tut.$n=5$$12453$$134$$\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$

Frage: Sei eine Konstante. Wenn eine Menge S ⊂ C ( n , k ) von k- Tupeln gegeben ist, finde eine Permutation π : [ n ] → [ n ] , die jedes k- Tupel in S vermeidet . $k$$S\subset C(n,k)$$k$$\pi:[n]\rightarrow [n]$$k$$S$

1. Gibt es einen Algorithmus für dieses Problem, der in polynomial ist ? P | und n ? Hier ist n unär gegeben. Ein Algorithmus, der zur Zeit n f ( k ) | läuft P | g ( k ) wäre in Ordnung.$|P|$$n$$n$$n^{f(k)}|P|^{g(k)}$
2. Oder ist dieses Problem NP-vollständig?

Hinweise auf dieses Problem oder Vorschläge für Algorithmen sind willkommen. Es ist zu beachten, dass der oben definierte Begriff der Permutationsvermeidung nicht mit dem Begriff der Permutationsvermeidung identisch ist, bei dem nur die relative Reihenfolge der Elemente wichtig ist und der in der Kombinatorik gut untersucht zu sein scheint.

Es ist NP-vollständig für durch eine Reduktion von der Zwischenzeit . In dem Zwischen-Gleichheitsproblem werden einem n Gegenstände gegeben, die vollständig zu ordnen sind, und Einschränkungen für einige Dreifache von Gegenständen, die einen Gegenstand des Dreifachen zwingen, zwischen den anderen beiden zu sein. In Ihrem Problem kann dieselbe Einschränkung erzwungen werden, indem alle Untersequenzen für drei Elemente verboten werden, bei denen das mittlere Element nicht in der Mitte liegt. Es ist jedoch bekannt, dass die Übereinstimmung NP-vollständig ist: siehe J. Opatrny, Total ordering problem, SIAM J. Comput. 8 (1979), 111–114.$k=3$$n$