Wir wissen, dass das Protokoll des Ranges einer 0-1-Matrix die Untergrenze der deterministischen Kommunikationskomplexität ist, und das Protokoll des ungefähren Ranges die Untergrenze der randomisierten Kommunikationskomplexität ist. Die größte Lücke zwischen deterministischer Kommunikationskomplexität und randomisierter Kommunikationskomplexität ist exponentiell. Was ist also mit der Lücke zwischen Rang und ungefährem Rang einer booleschen Matrix?
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Antworten:
Zuerst werde ich einige Hintergrundinformationen geben und den ungefähren Rang definieren. Eine gute Referenz ist die jüngste Umfrage von Lee und Schraibman Lower Bounds zur Kommunikationskomplexität .
Ein Ergebnis von Krause besagt, dass wobei und ist Komplexität der privaten Münzkommunikation mit begrenztem Fehler von mit einem durch begrenzten Fehler .Rpriϵ(A)≥logrankα(A) α=1/(1−2ϵ) Rpriϵ A ϵ
Das obige war für den Hintergrund. Um die Frage zu beantworten, zeigten Paturi und Simon , dass die Kommunikationskomplexität von unbegrenzten Fehlern vollständig charakterisiert . Sie zeigten auch, dass dies mit der minimalen Dimension einer Anordnung übereinstimmt, die die Boolesche Funktion realisiert, deren Kommunikationsmatrix . Die Kommunikationskomplexität der Gleichheitsfunktion mit unbegrenzten Fehlern ist . Behalt das im Kopf.rank∞(A) A A O(1)
Die Kommunikationsmatrix für Gleichheit ist nur die Identität, dh eine boolesche Matrix mit Zeilen und Spalten mit allen in der Diagonale. Bezeichnen wir dies mit . Alon zeigte, dass was bis zu einem logarithmischen Faktor eng ist (mit dem Satz von Krause erhalten wir ).2n 2n I2n rank2(I2n)=Ω(n) Rpriϵ(EQ)=Ω(logn)
Die Identitätsmatrix hat den vollen Rang, dh . Wir haben also exponentiell große Abstände für und .2n α=2 α→∞
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