Zitate, die Minderjährige zeigen, sind topologische Minderjährige für subkubische Graphen

Wenn ein Graph mit maximalen Grad 3 und eine kleinere von ist , dann ist eine topologische minor von .$G$$H$$G$$H$

Wikipedia zitiert dieses Ergebnis aus Diestels "Graphentheorie". Es ist als Prop 1.7.4 in der neuesten Version des Buches aufgeführt. Dem Buch fehlen Beweise oder Zitate.

Sind die Aufenthaltsorte für einen (Original-) Beweis dafür bekannt?

Darüber hinaus gibt es eine Referenz was beweist , dass , wenn ein Pfad oder eine Unterteilung einer Kralle ist und ein kleinere von dann ein Subgraph von ist ? Es wird hier kurz erwähnt , aber es fehlt ein Hinweis.$G$$H$$G$$H$

Wenn ein Graph mit maximalen Grad 3 und eine kleinere von ist H , dann G ist eine topologische minor von H .$G$$H$$G$$H$

Da ein kleinerer Teil von H ist , kann G aus H durch Löschen von Kanten, isolierten Scheitelpunkten und Durchführen von Kantenkontraktionen erhalten werden. Es ist auch leicht zu zeigen, dass wir darauf bestehen können, dass die Subgraph-Operationen zuerst ausgeführt werden, dh, dass wir zuerst alle Kanten- und Scheitelpunktlöschungen und dann alle Kantenkontraktionen ausführen können. Beschränken wir außerdem die Definition der "Randkontraktion", um zu verhindern, dass sich Kanten zusammenziehen, wenn einer der Scheitelpunkte den Grad 1 hat. Das Zusammenziehen einer solchen Kante ist dasselbe wie das Löschen, sodass die Definition von Nebengraphen nicht geändert wird.$G$$H$$G$$H$

Sei der Graph, der aus H erhalten wird, indem zuerst alle Kanten- / Scheitelpunktlöschungen durchgeführt werden. H ' enthält noch G als Moll. Wenn wir zeigen, dass H ' G als topologisches Minor enthält, sind wir fertig, da die Definition von topologischem Minor auch Rand- / Scheitelpunktlöschungen erlaubt.$H'$$H$$H'$$G$$H'$$G$

Da nur durch Kantenkontraktion aus H 'erhalten werden kann, müssen H ' und alle dazwischenliegenden Graphen den Maximalgrad 3 haben, da es keine Möglichkeit gibt, den Maximalgrad eines Graphen durch Ausführen einer Kantenkontraktion zu verringern. (Dies wäre möglich gewesen, wenn wir die Kontraktion von Kanten zugelassen hätten, die auf einen Scheitelpunkt vom Grad 1 fallen.)$G$$H'$$H'$

So betrachtet jeden Schritt bei der Umwandlung von zu G . Die einzigen Arten von Kanten, die wir zusammenziehen können, sind Kanten mit Vertices vom Grad 2 oder einem Vertex vom Grad 2 und einem Vertex vom Grad 3. (Alle anderen Kombinationen funktionieren nicht. Beispielsweise führen Kanten mit zwei Eckpunkten vom Grad 3 zu einem Eckpunkt vom Grad 4, wenn sie zusammengezogen werden.)$H'$$G$

Und jetzt sind wir fertig, denn wenn aus H $H_1$$H_2$ durch Zusammenziehen einer Kante mit zwei Vertices vom Grad 2 erhalten wird, kann aus H 1 erhalten werden, indem eine Kantenunterteilung an dieser Kante durchgeführt wird. Ähnliches gilt für eine Kante mit einem Scheitelpunkt vom Grad 3 und einem Scheitelpunkt vom Grad 2. Somit kann H ' nur durch Durchführen von Randunterteilungen aus G erhalten werden, was bedeutet, dass G ein topologischer Nebenbestandteil von H ' und damit von H ist .$H_2$$H_1$$H'$$G$$G$$H'$$H$

Wenn ein Pfad oder eine Unterteilung einer Klaue ist und ein kleiner Teil von H ist, dann ist G ein Teilgraph von $G$$H$$G$$H$

Dies ist einfach zu zeigen, sobald wir das vorherige Ergebnis haben. Da Wege und Unterteilungen von Klauen 3 maximalen Grad haben, wenn eine kleinere von IS H ist es auch eine topologische minor von H . Dies bedeutet, dass es einen Untergraphen von H gibt, der aus G erhalten werden kann, indem nur Kantenunterteilungen durchgeführt werden. Nun ist es einfach, durch Induktion zu zeigen, dass jede Kantenunterteilung eines Pfades oder einer Klaue zu einem Graphen führt, der das Original als Untergraph enthält. Beispielsweise führt die Unterteilung eines Pfades der Länge k zu einem Pfad der Länge k + 1, der den Pfad der Länge k als Untergraph enthält. Ähnliches gilt für Unterteilungen einer Klaue.$G$$H$$H$$H$$G$

Wir brauchten dieses Ergebnis auch einmal für eine Arbeit, deshalb haben wir einen kurzen Beweis in unsere Arbeit aufgenommen. Sie finden das Ergebnis in der Quantum-Abfragekomplexität der Eigenschaften kleiner geschlossener Diagramme . Es wird auf Seite 13 erwähnt. Diese Tatsache ist jedoch im Beweis von etwas anderem verborgen und wird nicht explizit als Satz angegeben.

Interessant ist auch, dass es eine Umkehrung zu diesem Theorem gibt:

Die einzigen Graphen für die G als Minor gleichbedeutend mit G als Subgraph ist, sind solche, in denen jede verbundene Komponente ein Pfad oder eine Unterteilung einer Klaue ist.$G$$G$$G$