Zitate, die Minderjährige zeigen, sind topologische Minderjährige für subkubische Graphen

12

Wenn ein Graph mit maximalen Grad 3 und eine kleinere von ist , dann ist eine topologische minor von .GHGH

Wikipedia zitiert dieses Ergebnis aus Diestels "Graphentheorie". Es ist als Prop 1.7.4 in der neuesten Version des Buches aufgeführt. Dem Buch fehlen Beweise oder Zitate.

Sind die Aufenthaltsorte für einen (Original-) Beweis dafür bekannt?

Darüber hinaus gibt es eine Referenz was beweist , dass , wenn ein Pfad oder eine Unterteilung einer Kralle ist und ein kleinere von dann ein Subgraph von ist ? Es wird hier kurz erwähnt , aber es fehlt ein Hinweis.GHGH

Eli
quelle
Das Buch ist bei diestel-graph-theory.com erhältlich
Alexander Langer
Danke Alexander. Diese Version des Buches enthält keinen Hinweis oder Beweis für den Vorschlag. Wissen Sie, ob die vollständige Ausgabe ihn oder eine andere Quelle dafür enthält?
Eli
2
Ich erinnere mich, dass ich nach einem Zitat für die zweite Tatsache gesucht habe, die Sie angegeben haben, aber ich habe nichts gefunden. Das beste Zitat, das ich für die erste Aussage kenne, ist Diestels Buch, das die Aussage nicht beweist. Ich werde abwarten, ob jemand ein Zitat findet. Wenn nicht, poste ich einen Proof als Antwort.
Robin Kothari
1
@Robin, an diesem Punkt, wenn du einen Beweis postest, ist das gut genug für mich. Gibt es eine angemessene Möglichkeit, Sie zuzuordnen, falls dieses Ergebnis irgendwo verwendet wird? Ich bin nicht mit der Stapelaustauschrichtlinie oder der Standardpraxis vertraut.
Eli
1
Tatsächlich wurde das Zitieren hier bereits besprochen und gelöst: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/352/…
Aaron Sterling

Antworten:

13

Wenn ein Graph mit maximalen Grad 3 und eine kleinere von ist H , dann G ist eine topologische minor von H .GHGH

Da ein kleinerer Teil von H ist , kann G aus H durch Löschen von Kanten, isolierten Scheitelpunkten und Durchführen von Kantenkontraktionen erhalten werden. Es ist auch leicht zu zeigen, dass wir darauf bestehen können, dass die Subgraph-Operationen zuerst ausgeführt werden, dh, dass wir zuerst alle Kanten- und Scheitelpunktlöschungen und dann alle Kantenkontraktionen ausführen können. Beschränken wir außerdem die Definition der "Randkontraktion", um zu verhindern, dass sich Kanten zusammenziehen, wenn einer der Scheitelpunkte den Grad 1 hat. Das Zusammenziehen einer solchen Kante ist dasselbe wie das Löschen, sodass die Definition von Nebengraphen nicht geändert wird.GHGH

Sei der Graph, der aus H erhalten wird, indem zuerst alle Kanten- / Scheitelpunktlöschungen durchgeführt werden. H ' enthält noch G als Moll. Wenn wir zeigen, dass H ' G als topologisches Minor enthält, sind wir fertig, da die Definition von topologischem Minor auch Rand- / Scheitelpunktlöschungen erlaubt.HHHGHG

Da nur durch Kantenkontraktion aus H 'erhalten werden kann, müssen H ' und alle dazwischenliegenden Graphen den Maximalgrad 3 haben, da es keine Möglichkeit gibt, den Maximalgrad eines Graphen durch Ausführen einer Kantenkontraktion zu verringern. (Dies wäre möglich gewesen, wenn wir die Kontraktion von Kanten zugelassen hätten, die auf einen Scheitelpunkt vom Grad 1 fallen.)GHH

So betrachtet jeden Schritt bei der Umwandlung von zu G . Die einzigen Arten von Kanten, die wir zusammenziehen können, sind Kanten mit Vertices vom Grad 2 oder einem Vertex vom Grad 2 und einem Vertex vom Grad 3. (Alle anderen Kombinationen funktionieren nicht. Beispielsweise führen Kanten mit zwei Eckpunkten vom Grad 3 zu einem Eckpunkt vom Grad 4, wenn sie zusammengezogen werden.)HG

Und jetzt sind wir fertig, denn wenn aus H 2 gewonnen wirdH1H2 durch Zusammenziehen einer Kante mit zwei Vertices vom Grad 2 erhalten wird, kann aus H 1 erhalten werden, indem eine Kantenunterteilung an dieser Kante durchgeführt wird. Ähnliches gilt für eine Kante mit einem Scheitelpunkt vom Grad 3 und einem Scheitelpunkt vom Grad 2. Somit kann H ' nur durch Durchführen von Randunterteilungen aus G erhalten werden, was bedeutet, dass G ein topologischer Nebenbestandteil von H ' und damit von H ist .H2H1HGGHH

Wenn ein Pfad oder eine Unterteilung einer Klaue ist und ein kleiner Teil von H ist, dann ist G ein Teilgraph von HGHGH

Dies ist einfach zu zeigen, sobald wir das vorherige Ergebnis haben. Da Wege und Unterteilungen von Klauen 3 maximalen Grad haben, wenn eine kleinere von IS H ist es auch eine topologische minor von H . Dies bedeutet, dass es einen Untergraphen von H gibt, der aus G erhalten werden kann, indem nur Kantenunterteilungen durchgeführt werden. Nun ist es einfach, durch Induktion zu zeigen, dass jede Kantenunterteilung eines Pfades oder einer Klaue zu einem Graphen führt, der das Original als Untergraph enthält. Beispielsweise führt die Unterteilung eines Pfades der Länge k zu einem Pfad der Länge k + 1, der den Pfad der Länge k als Untergraph enthält. Ähnliches gilt für Unterteilungen einer Klaue.GHHHG

Wir brauchten dieses Ergebnis auch einmal für eine Arbeit, deshalb haben wir einen kurzen Beweis in unsere Arbeit aufgenommen. Sie finden das Ergebnis in der Quantum-Abfragekomplexität der Eigenschaften kleiner geschlossener Diagramme . Es wird auf Seite 13 erwähnt. Diese Tatsache ist jedoch im Beweis von etwas anderem verborgen und wird nicht explizit als Satz angegeben.

Interessant ist auch, dass es eine Umkehrung zu diesem Theorem gibt:

Die einzigen Graphen für die G als Minor gleichbedeutend mit G als Subgraph ist, sind solche, in denen jede verbundene Komponente ein Pfad oder eine Unterteilung einer Klaue ist.GGG

Robin Kothari
quelle
1
Vielen Dank. Wenn Sie zufällig auf ein veröffentlichtes Zitat für diese Ergebnisse stoßen, würde ich es immer noch mögen, aber das ist hervorragend.
Eli
Diese Antwort wird jetzt vorgestellten auf dem Community - Blog.
Aaron Sterling
Gute Antwort, aber ich denke, dass Ihre Technik, Kontraktionen der Stufe 1 nicht zuzulassen, einen Fehler aufweist. Betrachten Sie beispielsweise G = K_4 minus einer beliebigen Kante. Durch Kontraktion entlang der beiden Scheitelpunkte von Grad 3 in G wird der Pfadgraph P_3 mit maximalem Grad 2 erzeugt. Wenn Sie stattdessen Kontraktionen an einer Kante verbieten, die einer Löschung gleichkommen würden, sollte der Beweis durchlaufen werden. Formal verbieten Sie jede Kontraktion zwischen Vertex x und y, wenn gamma (x) \ {y} = gamma (y) \ x ist. Es kann leicht gezeigt werden, dass jede Kontraktion, die diese Einschränkung nicht verletzt, zu einem neuen Scheitelpunkt von nicht verringertem Grad führt.
RussellStewart
@ user2237635: Du hast recht, danke.
Robin Kothari