Wie sollte man selbstvermeidende zufällige Spaziergänge simulieren?

Es gibt eine triviale Methode zum Simulieren eines zufälligen Gehens durch ein Diagramm durch Exponentiieren einer stochastischen Adjazenzmatrix. Das Problem wird jedoch schwieriger, wenn Sie darum bitten, dass das zufällige Gehen sich selbst vermeidet. Mit anderen Worten, der Prozess muss den Graphen mithilfe von Pfaden wie einer Infektion oder Ähnlichem durchlaufen.

Wenn die groß sind, gibt es einen einfachen Monte-Carlo-Algorithmus: In jedem Versuch löschen Sie einfach jede Kante mit der Wahrscheinlichkeit , berechnen die verbundenen Komponenten des neuen Graphen und um Matrizen von 1s für jeden Kontakt Komponente. Sie dividieren durch die Anzahl der Versuche am Ende. $e$ $1-p_e$

Kennt jemand einen Algorithmus für diese Berechnung, wenn die Wahrscheinlichkeiten recht klein sind?

Wenn das Diagramm nicht zu stark verbunden ist, können Sie einige minimale Schnittsätze finden und Einschluss-Ausschluss-Zählungen durchführen. Ein solcher Ansatz ist jedoch in der Größe der Schnittsätze doppelt exponentiell. Es gibt auch verschiedene Optimierungen für bestimmte Fälle hoher Konnektivität, z. B. die getrennte Behandlung aller Clique-Subgraphen über die offensichtliche Berechnung. Irgendwelche allgemeineren Ideen?

ds.algorithms graph-algorithms randomized-algorithms random-walks Jeff Burdges
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Nicht genau das, wonach Sie suchen, aber ein guter Anfang sind zufällige Spaziergänge, die durch Schleifen gelöscht werden

Artem Kaznatcheev

Antworten:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig interpretiere, aber es scheint mir, dass Sie nicht nach der Simulation von selbstvermeidenden zufälligen Spaziergängen fragen , sondern nach der Aufzählung von selbstvermeidenden zufälligen Spaziergängen. Ich sage das, weil Sie über die Potenzierung einer Adjazenzmatrix sprechen, die Ihnen eine (gewichtete) Aufzählung von zufälligen Spaziergängen gibt.

Ich bin mir nicht sicher, ob es viel Literatur zum Aufzählen von selbstvermeidenden Spaziergängen in allgemeinen Grafiken gibt. Ich glaube, dass die meiste Aufmerksamkeit auf das Vermeiden von Spaziergängen in Gittern im euklidischen Raum gerichtet war, und darauf basieren meine Kommentare unten. Ich vermute, dass sich viele der Ideen auf allgemeine Grafiken übertragen lassen.

Das klassische Werkzeug zur Reduzierung des Arbeitsaufwands bei der genauen Aufzählung von selbstvermeidenden Spaziergängen ist die Spitzenerweiterung. Mit diesem Schlüsselwort sollten Sie die relevante Literatur leicht finden können. Für stark verbundene Grafiken schätze ich jedoch, dass die Idee der Spitzenerweiterung nicht allzu viel hilft (aber in diesem Fall hilft vielleicht nichts viel).

Wenn Sie mit der ungefähren Aufzählung zufrieden sind, gibt es einige Optionen. Eine Umfrage finden Sie in EJJ van Rensburgs Artikel von 2009 zum Thema "Ungefähre Aufzählung von selbstvermeidenden Spaziergängen". Siehe auch "Selbsttestalgorithmen zur Vermeidung von Spaziergängen" von Randall und Sinclair (2000).

Timothy Chow
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Interessant, danke! Ich spreche von Wahrscheinlichkeit, nicht von Aufzählung. Ich habe anscheinend impliziert, dass die genannten Kantenwahrscheinlichkeiten identisch waren. Ich werde das auf die stochastische Adjazenzmatrix korrigieren.

Jeff Burdges

Nein, es war klar, dass Sie Kantenwahrscheinlichkeiten hatten. Deshalb habe ich in meiner Antwort das Wort "gewichtet" in Klammern gesetzt. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten entspricht einer gewichteten Aufzählung, und die meisten Ideen für eine einfache Aufzählung lassen sich direkt auf die gewichtete Aufzählung übertragen.

Timothy Chow