Können Integrale gleichzeitig als Aggregate und Mittelwerte interpretiert werden? (Mas-Colell et al. 1995, Proposition 4.C.4)

Ich lese gerade Kapitel 4 von Mas-Colell, Whinston und Green (1995). Ich habe ein Problem mit der Behandlung von Integralen. Zum Beispiel besagt Proposition 4.C.4 (S.113), dass, wenn Reichtum gleichmäßig verteilt wird$[0,W]$, die aggregierte und die durchschnittliche Nachfragefunktion sind:

$$x(p) = \int_0^W x(p,w) dw$$

Wo $x(p,w)$ ist eine individuelle Forderung (jede Person hat die gleichen Vorlieben, ihre Forderungen unterscheiden sich nur in der Höhe des Wohlstands).

Ich denke jedoch, dass der richtige Weg, den Durchschnitt zu schreiben, wäre:

$$x(p) = \int_0^W \frac1W x(p,w) dw$$ denn dies ist die Definition des erwarteten Wertes.

Liege ich falsch? Kann ich bei der Verwendung von Integralen einfach davon ausgehen, dass Durchschnittswerte gleich Aggregaten sind? Dies ist ein großes Problem für mich, da in Übung 4.C.10 darum gebeten wird, dies zu beweisen

$$C(p,w)=\int_0^W S(p,w)dw - S(p,W)=-D_w x(p).x^T(p)+\int_0^WD_w x(p,w).x^T(p,w)dw$$ ist positiv definitiv, wo $S(p,w)$ sind einzelne Slutsky-Matrizen und $S(p,W)$ ist die Slutsky-Matrix der Gesamtnachfrage.

Ich dachte zu definieren $w=aW$ mit $a$gleichmäßig in einem Intervall verteilt. Daher könnte ich neu definieren$x(p)=x(p,W)$ und differenzieren $x(p)=x(p,W)$ und $x(p,w)=x(p,aW)$ in Gedenken an $W$. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich ein Intervall für definieren soll$a$ so dass das durchschnittliche Vermögen gleich dem Gesamtvermögen ist $w=aW$.

Anmerkung: Satz 4.C.4 basiert auf einem Beispiel von Hildebrand (1983) ("On the Law of Demand"). Ich habe den Artikel gelesen und er geht davon aus, dass Reichtum verteilt wird$[0,1]$. In diesem Intervall entspricht die Gesamtnachfrage der durchschnittlichen Nachfrage. Bedeutet dies, dass Satz 4.C.4 falsch geschrieben ist? Wenn dem so ist, habe ich immer noch ein Problem mit Übung 4.C.10, weil ich ein Intervall für ein solches benötige, bei dem das Gesamtvermögen dem Durchschnittsvermögen entspricht.

Ich sprach mit meinem Lehrer, um zu versuchen, die Frage in den Griff zu bekommen.

Sie haben das normalerweise richtig

$$\overline {f(x)} = \frac{1}{b-a}\int^b_a f(x) dx$$

Für die Nachfragefunktion gibt es jedoch zwei Argumente: $w$ und $p$.

$$x(p) = \int_0^\bar W \tilde x(p,w) dw$$

• Die linke Seite ist keine Funktion mehr von $w$. Das Integrale besteht darin, den Wohlstand aus dem Bild heraus zu vereinfachen, aber wir mitteln nicht über den Wohlstand .
• Alle Verbraucherpräferenzen sind identisch. Nehmen wir zum Zwecke der Argumentation an, dass es solche gab$n$Verbraucher. Wir multiplizieren nicht mit$n$ auf der Innenseite des Integrals, so dass wir nichts aufteilen müssen (wie $n$) durch die Außenseite des Integrals. Die "Aggregation" erfolgt über alle Verbraucher.