stochastische Dominanz zweiter Ordnung ohne den gleichen Mittelwert

Sei $F$ und $G$ zwei Verteilungen mit dem gleichen Mittelwert. $F$ soll zweiter Ordnung stochastisch dominate ( SOSD ) $G$ , wenn

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ für alle steigenden und konkaven $u(\cdot)$ .

Diese obige Definition ist äquivalent zu

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

Mir wurde gesagt, dass die Anforderung, dass $F$ und $G$ den gleichen Mittelwert haben müssen, nicht wirklich notwendig ist. Angenommen, $F$ und $G$ haben nicht den gleichen Mittelwert. Können wir dann noch die Äquivalenz zwischen $(1)$ und $(2)$ ?

NB Ich konnte $(2)\Rightarrow (1)$ ohne die gleiche mittlere Bedingung zeigen, aber nicht umgekehrt.

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$