Positive monotone Transformationen und verschachtelte Funktionen

Angenommen, es gibt einen Wirtschaftsagenten mit der Utility-Funktion . Ein zweiter Agent hat die Utility-Funktion . $u(x,y)$ $h(g(f(u(x,y))))$

Bin ich in der Annahme richtig , dass , wenn , und , dann muss auch positiv sein und daher $f'(x)>0$ $g'(x)>0$ $h'(x)>0$ $h(g(f(u(x,y))))$ ist eine positive monotone Transformation von ? $h(g(f(u(x,y))))$ $u(x,y)$

Wenn nicht, wie kommt es?

microeconomics mathematical-economics utility Elisabeth
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Antworten:

$h(g(f(u(x,y))$ $u \rightarrow h \circ g \circ f \circ u$

$(x,y,z,w)$

\begin{aligned} u (x, y) \geq u (z, w) & \Leftrightarrow f (u (x, y)) \geq f (u (z, w)) since f is increasing \\ \Leftrightarrow g (f (u (x, y)) \geq g (f (u (z, w)) since g is increasing \\ \Leftrightarrow h (g (f (u (x, y))) \geq h (g (f (u (z, w))) since h is increasing \end{aligned}

$\begin{align} u(x,y) \geq u(z,w) & \Leftrightarrow f(u(x,y)) \geq f(u(z,w)) \text{ since } f \text{ is increasing} \\ & \Leftrightarrow g(f(u(x,y)) \geq g(f(u(z,w)) \text{ since } g \text{ is increasing} \\ & \Leftrightarrow h(g(f(u(x,y))) \geq h(g(f(u(z,w))) \text{ since } h \text{ is increasing} \end{align}$

u \to h \circ g \circ f \circ u

$u \rightarrow h \circ g \circ f \circ u$

\frac{d (h \circ g \circ f) (x)}{d x} = f^{'} (x) g^{'} (f (x)) h^{'} (g (f (x))

$\begin{equation*} \frac{d (h \circ g \circ f )(x)}{dx}= f'(x) g'(f(x)) h'(g(f(x)) \end{equation*}$

f^{'} > 0, g^{'} > 0, h^{'} > 0

$f'>0,g'>0,h'>0$

Oliv
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