Verbraucheroptimum in einer Wirtschaft mit einem Kontinuum von Rohstoffen

Stellen Sie sich eine Wirtschaft mit einem Kontinuum von Waren vor, mit einer Ware für jeden Punkt in .$[0,1]$

Angenommen , ein Verbraucher wünscht zu maximieren unterliegt , wo ist die Menge des -ten konsumierte Ware, ihr Preis und das Geldeinkommen des Verbrauchers.

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Diese Art von Problem tritt beispielsweise bei der Anwendung des Dixit-Stiglitz-Modells auf die Makroökonomie oder den internationalen Handel auf.

Die Lösung für dieses Problem ist angeblich wobei eine Konstante ist, die ausgewählt wurde, um sicherzustellen, dass die Budgetbeschränkung erfüllt ist.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Ich bin nicht sehr zufrieden mit Ableitungen dieses Ergebnisses, die Lagrange-Multiplikatoren in Analogie zum Fall einer endlichen Anzahl von Waren verwenden. Was wäre eine völlig mathematisch strenge Methode, um das obige Ergebnis abzuleiten?

Es scheint klar zu sein, dass es keine eindeutige Lösung gibt, da durch willkürliches Ändern der Werte von für eine endliche Anzahl von Werten von die Integrale in der Utility-Funktion und die Budgetbeschränkung unverändert . Ich gehe davon aus, dass eine völlig strenge Ableitung diesen Grad der Eindeutigkeit auch korrekt bestimmen würde.$c_i$$i$

EDIT: Als Antwort auf die Kommentare von @BKay, @Ubiquitous. Mein Problem, mit Volkswirtschaften mit Rohstoffen zu beginnen und das Limit als ist, dass dies von einem Argument begleitet werden muss, das zeigt, dass das Limit von Optima ein Optimum des Limitproblems ist. Ich würde mich über einen Verweis auf ein Ergebnis freuen, das dies entweder für dieses spezielle Problem oder auf ein allgemeines Ergebnis zeigt, das auf dieses Problem anwendbar ist.$n$$n \to \infty$

Als Antwort auf @AlecosPapadopoulos. Die Beweise der Langrange-Multiplikatormethode, die in Mathematik für Wirtschaftskurse gelehrt wird, beziehen sich normalerweise auf eine endliche Anzahl von Auswahlvariablen. Ich würde mich über einen Hinweis freuen, wo die Methode für ein Kontinuum von Auswahlvariablen gerechtfertigt ist. Auch die oben erwähnte Nicht-Einzigartigkeit zeigt, dass die Methode nicht genau richtig sein kann. Was genau sind dann die Qualifikationen, die für seine Gültigkeit erforderlich sind?

Die völlig strenge Sache wäre, die Euler-Lagrange-Gleichung dieses Variationskalkulationsproblems zu schreiben. Dies gibt Ihnen eine starke Lösung, die Sie haben, oder eine schwache Lösung, die in Bezug auf eine Verteilung geschrieben ist.

Wie das OP in einem Kommentar feststellte, scheint Satz 1 in Abschnitt 12 von Kolomogorov und Fomins Variationsrechnung einen gewissen Komfort zu bieten, dass wir tatsächlich die Langrange-Multiplikator-Methode verwenden können, wenn die Anzahl unserer Variablen unendlich ist. Dennoch tun die Autoren dies in einer Fußnote und schreiben: "Der Leser wird die Analogie mit Langrange-Multiplikatoren leicht erkennen ." Also nein, das zeigt nicht genau, was wir wollen.

Ich denke, wir brauchen ein Papier wie Craven, BD (1970). Eine Verallgemeinerung der Lagrange-Multiplikatoren. Bulletin der Australian Mathematical Society, 3 (03), 353-362. was in seiner Zusammenfassung schreibt:

Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren zur Lösung eines Problems mit eingeschränkten stationären Werten wird verallgemeinert, damit die Funktionen Werte in beliebigen Banach-Räumen (über dem realen Feld) annehmen können. Es wird gezeigt, dass die Menge der Lagrange-Multiplikatoren in einem endlichdimensionalen Problem durch eine kontinuierliche lineare Abbildung zwischen den relevanten Banach-Räumen ersetzt wird.

Dies ist mathematisch gesprochen, aber es sagt, was wir hören wollten (man kann auch eine kurze Darstellung in Wikipedia finden, in dem Maße, in dem es dem Inhalt vertraut).

Dann können wir den Lagrange des Problems bilden

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

und berechnen Sie die Bedingung (en) erster Ordnung, indem Sie informell "das Integral betrachten und eine Summe sehen",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... ein Kontinuum von Bedingungen. Für die spätere Verwendung definieren wir

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

Es kann gezeigt werden, dass das konstante die Elastizität der Substitution zwischen zwei beliebigen Gütern ist.$\sigma$

Schreiben für Ware und Gleichsetzen durch den gemeinsamen Lagrange-Multiplikator, zu dem wir gelangen$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit und nehmen Sie das Integral über den Warenraum in Bezug auf :$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

Das ist die marshallische Nachfrage nach Rohstoffen. .$j$

Dies ist nur eine Ausarbeitung der Antwort von @ user157623. Ich poste es der Einfachheit halber als Community-Wiki.

Satz 1 von Abschnitt 12 von Kolmogorov und Fomins Variationsrechnung besagt

Wenn die Funktion lassen Sie die zulässigen Kurven die Bedingungen erfüllen wobei eine andere Funktion ist, und ein Extremum für . Wenn dann kein Extremal von , existiert eine Konstante so dass ein Extremal der Funktion dh erfüllt die Differentialgleichung

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

Wir können versuchen, diesen Satz auf unser Problem anzuwenden, indem wir als , als , und .$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

Dann wird die endgültige Differentialgleichung im Satz was genau das ist, was wir brauchen.

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

Ist der Satz anwendbar? Unser ist linear, kann also kein Extremal haben, so dass die Anforderung, kein Extremal zu haben, leicht erfüllt werden kann. Die Randbedingungen für und spielen keine Rolle, da ein Pfad von , beispielsweise , ohne Randbedingungen extrem ist, dann innerhalb der Menge extrem ist .$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Der einzige Haken liegt in der Natur des Satzes selbst. Es gibt notwendige Bedingungen für ein Optimum. Da in unserem Fall die notwendige Bedingung ein einzigartiges Ergebnis liefert, müssen wir nur argumentieren, dass unser Problem eine Lösung hat.

Die Beweise in Kolmogorov-Fomin gehen davon aus, dass die Funktionen, mit denen wir uns befassen, kontinuierliche erste Ableitungen haben. Wir müssen also noch zeigen, dass das Problem des Verbrauchers in dieser Funktionsklasse ein Optimum hat, aber vorausgesetzt, das Problem ist gelöst.