Nash-Gleichgewicht für Bertrand-Modell mit räumlicher Differenzierung

Stellen Sie sich eine Stadt mit Verbrauchern vor, die durch ein geschlossenes Intervall repräsentiert sind, wobei die Verbraucher kontinuierlich und gleichmäßig verteilt sind. Es gibt zwei Geschäfte, und , die das gleiche Produkt bei und verkaufen .$[0,2]$$A$$B$$p_A$$p_B$

Ein Verbraucher hat einen Bruttogewinn von 4 aus dem Produkt, der durch den gezahlten Preis und die Reisekosten, die als zurückgelegte Strecke bestimmt werden, reduziert wird. Jeder Verbraucher kauft nur 1 Einheit des Produkts, und wenn die Verbraucher nicht von jedem Geschäft kaufen, hat er ein Dienstprogramm von 0. Zum Beispiel, wenn ein Verbraucher befindet sich und kauft von Speicher B bei der befindet sich bei , dann ist sein Nutzen .$x=1.5$$p_B=1$$x_B=2$$4-1-|2-1.5| = 2.5$

Angenommen, befindet sich bei und befindet sich bei . Nehmen wir außerdem an, dass in viel Ladung gespeichert ist .$A$$x_A=0$$B$$x_B=2$$p \le 4$

Angenommen, Geschäfte sind Gewinnmaximierer. Was sind die Gleichgewichtspreise, -mengen und -gewinne für beide Geschäfte?

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Mein erster Gedanke ist, dass in diesem Szenario die Gewinnfunktionen für jedes Geschäft wie folgt angegeben werden:

$$\pi_A=p_A+p_A(\frac{p_B-p_A}{2})$$

$$\pi_B=p_B-p_B(\frac{p_B-p_A}{2})$$

Wir können die erste Bestellbedingung für jede annehmen, um den maximalen Gewinn zu erzielen.

$$\frac{\partial \pi_A}{p_A} = 1 + \frac{p_B}{2} - p_A = 0 \implies p_A = \frac{p_B}{2} + 1$$

$$\frac{\partial \pi_B}{p_B} = 1 - p_B + \frac{p_A}{2} = 0 \implies p_B = 1 + \frac{p_A}{2}$$

Indem wir eins in das andere einsetzen, erhalten wir , und .$p_A=p_B=2$$q_A=q_B=1$$\pi_A=\pi_B=2$

Ich bin mir über diese Lösung oder die Richtung, in der ich sie gelöst habe, nicht ganz sicher. Jeder Rat hier wäre dankbar, in welche andere Richtung ich es versuchen sollte.