brauchen Hilfe von Theoretikern: Beweise in Cole, Mailath und Postlewaite (2001)

Ich habe eine Frage im Beweis für Abschnitt 4.1. in Cole, Mailath und Postlewaite (2001).

lim_{ε \to 0} \frac{1}{2 ε} \int_{\bar{l} - ε}^{\bar{l} + ε} v (β (i) + δ, σ (i + β^{- 1} (β (i) + δ) - \bar{l} - ε)) - v (β (i), s (i)) d i

$\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon}\int_{\overline{l}-\varepsilon}^{\overline{l}+\varepsilon} v(\beta(i) + \delta, \sigma(i+\beta^{-1}(\beta(i) +\delta) - \overline{l}-\varepsilon))-v(\beta(i), s(i))di$

Sie sagen, die obige Grenze ist gleich: für

v (β (\bar{l} + δ, σ (\tilde{l})) - v (β (\bar{l}, s (\bar{l})),

$v(\beta(\overline{l}+\delta, \sigma(\tilde{l}))-v(\beta(\overline{l}, s(\overline{l})),$

\tilde{l} = β^{- 1} (β (\bar{l}) + δ) .

$\tilde{l} = \beta^{-1}(\beta(\overline{l})+\delta).$

Ich bin nicht sicher, wie sie das machen. Ich denke, wenn geht, geht der Term innerhalb des Integrals auf 0. Aber die Antwort, die sie uns geben, ist, für im Integral zu ersetzen . Ich freue mich, wenn Sie mir dabei helfen. $\varepsilon \to 0$ $\overline{l}$ $i$

microeconomics theory Sihyun Kim
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Dies kann mit der L'Hopital-Regel erreicht werden , nach der

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} .

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Das Ergebnis von Cole, Mailath und Postlewaite ist ziemlich allgemein gültig und nicht speziell für die jeweiligen Funktionen in ihrem Integranden.

Sei

f (ϵ) = \int_{l - ϵ}^{l + ϵ} h (x, ϵ) d x ⟺ f^{'} (ϵ) = h (l - ϵ, ϵ) + h (l + ϵ, ϵ) + \int_{l - ϵ}^{l + ϵ} \frac{\partial h (x, ϵ)}{\partial ϵ} d x

$f(\epsilon)=\int_{l-\epsilon}^{l+\epsilon}h(x,\epsilon)dx \iff f'(\epsilon)=h(l-\epsilon,\epsilon)+h(l+\epsilon,\epsilon)+\int_{l-\epsilon}^{l+\epsilon}\frac{\partial h(x,\epsilon)}{\partial \epsilon}dx$

und

g (ϵ) = 2 ϵ ⟺ g^{'} (ϵ) = 2.

$g(\epsilon)=2\epsilon\iff g'(\epsilon)=2.$

Verwenden Sie dann die L'Hopital-Regel:

lim_{ϵ \to 0} \frac{f (ϵ)}{g (ϵ)} = lim_{ϵ \to 0} \frac{f^{'} (ϵ)}{g^{'} (ϵ)} = \frac{h (l, 0) + h (l, 0)}{2} = h (l, 0) .

$\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(\epsilon)}{g(\epsilon)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f'(\epsilon)}{g'(\epsilon)}=\frac{h(l,0)+h(l,0)}{2}=h(l,0).$

Ein letztes Wort zur "Intuition". Sie argumentieren zu Recht, dass das Integral mit auf Null geht . Das Problem ist aber, dass der Nenner ebenfalls auf Null geht. Um zu wissen, was der Gesamtausdruck tut, wenn sich Null nähert, müssen wir wissen, ob sich der Zähler oder der Nenner schneller Null nähert. Mit anderen Worten, teilen wir für eine kleine Zahl durch eine sehr sehr kleine Zahl, oder teilen wir eine sehr sehr kleine Zahl durch eine kleine Zahl? Dies ist grob gesagt die Logik hinter der Regel von L'Hopital. $\epsilon$ $2\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon\rightarrow0$

Allgegenwärtig
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Das war toll, aber mein Kalkül ist rostig. Sollte in Ihrem ursprünglichen Ausdruck für das Integral nicht der erste Term ein Minus vor sich haben? und woher kommt die dritte Amtszeit? Ich dachte, wenn Sie die Ableitung des Integrals nehmen, bewerten Sie sie einfach an beiden Grenzen. Der abgeleitete Begriff ist mir nicht bekannt. Oder vielleicht war ich früher und habe es vergessen. Vielen Dank.

Markieren Sie Leeds

@markleeds: Der erste Term hat kein Minuszeichen: Wenn die Untergrenze kleiner wird (weil zunimmt), nimmt der Wert des Integrals zu. Im Wesentlichen würde es ein Minuszeichen geben, das von der Tatsache herrührt, dass eine Erhöhung der Untergrenze den Wert des Integrals schrumpfen lässt, und ein zweites Minuszeichen, das von der Tatsache , dass die Untergrenze in abnimmt . Die beiden Minuszeichen entfallen. Dies ist im Grunde nur die Kettenregel:

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

\frac{\partial}{\partial x} \int_{f (x)}^{c} g (z) d z = f^{'} (x) \frac{\partial}{\partial f (x)} \int_{f (x)}^{c} g (z) d z = - f^{'} (x) g (f (x)) .

$\frac{\partial}{\partial x}\int_{f(x)}^{c} g(z) dz=f'(x)\frac{\partial}{\partial f(x)}\int_{f(x)}^{c} g(z) dz=-f'(x)g(f(x)).$

Allgegenwärtig

@markleeds Wenn wir differenzieren, fragen wir uns, wie eine (kleine) Änderung in den Wert des Integrals ändert. Dies geschieht durch zwei Effekte. Erstens ändern sich die Grenzen des Integrals, was die ersten beiden Terme sind. Zweitens ändert sich der Integrand selbst (das ist das Bit), und wir müssen diese Änderung über die gesamte Länge des Intervalls anwenden, über das wir integrieren, weshalb das erscheint in einem Integral.

ϵ

$\epsilon$

\partial h / \partial ϵ

$\partial h/\partial \epsilon$

\partial h / \partial ϵ

$\partial h/\partial \epsilon$

Allgegenwärtig

Es wird sehr geschätzt. Ich werde ausdrucken und sorgfältig durchgehen. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit für die ausführliche Erklärung genommen haben. Mir ist aufgefallen, dass die Leute auf dieser Liste sehr großzügig und hilfsbereit sind.

Markieren Sie Leeds

wahrscheinlich nicht in diesem Leben, abgesehen von dem Versuch, die Integration zu verfolgen, die auf dieser Liste gemacht wurde !!!!!! Alles Gute.

Mark Leeds

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