Portfolio-Auswahl eines Risikoliebhabers

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Nehmen Sie das in MWG (S.188-189) dargestellte Standard-Portfolio-Auswahlproblem, aber mit einem risikofreudigen Entscheidungsträger:

  • mit anfänglichem Reichtum w
  • einen Betrag investiert α in einer riskanten Asset mit einem zufälligen Bruttoertragsrate z , wo z nach CDF verteilt ist F , und zdF(z)>1

maxα[0,w]u(wα+αz)dF(z),
u>0u>0

Stimmt es, dass die optimale Lösung α=w ?

Da u konvex ist, ist die übliche Bedingung erster Ordnung für ein Maximum nicht ausreichend.

Intuitiv sollte die Antwort ja sein. Aber was genau ist der Grund?

Herr k.
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Antworten:

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Da wir eine Ecklösung vermuten, ist es besser, das Problem explizit mit seiner Einschränkung zu schreiben. Verwenden Sie noch besser die Fritz John ( FJ ) -Bedingungen als die Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) -Bedingungen. Wir werden die Unterschiede im weiteren Verlauf erwähnen.

maxαu[w+α(z1)]dF(z),s.t.wα0

Die Lagrange nach der Firtz-John-Formulierung ist

LFJ=λ0u[w+α(z1)]dF(z)+λ1(wα)

Das neue Element ist der Multiplikator für die Zielfunktion . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir angebenλ0

λ0{0,1},λ0+λ10

Was gewinnen wir hier im Vergleich zu den weit verbreiteten und verwendeten KKT- Bedingungen? Wenn eine Lösung erfordert, erhalten wir die KKT- Bedingungen mit der erfüllten Einschränkungsqualifikation . Wenn für eine Lösung erforderlich ist, gibt dies unter anderem den Fall wieder, in dem die Einschränkungsqualifikation nicht gültig ist. λ0=1λ0=0

(Ein Standardbeispiel ist der Fall, in dem die realisierbare Menge für aufgrund der auferlegten Einschränkungen auf einen einzigen Punkt reduziert wurde. Dann werden wir feststellen, dass die einzige Lösung vorschreibt , was eine intuitive Erklärung hat: if kann aufgrund der Einschränkungen nur einen einzigen Wert annehmen, dann spielt die Zielfunktion "keine Rolle" bei der Bestimmung von und erhält einen Nullmultiplikator.αλ0=0αα

Zurück zu unserem Problem. Die erste Bestellbedingung ist

LFJα=λ0u[w+α(z1)](z1)dF(z)λ10

(Beachten Sie das "niedriger oder gleich Null", was der Fall ist, wenn unter Ungleichheitsbeschränkungen optimiert wird, anstatt nur "gleich").

Zuerst stellen wir fest, dass . Aufgrund von und der (strengen) Konvexität der Nutzenfunktion, und der Annahme, dass ist (unter Verwendung von Jensens Ungleichung)α>0u>0u>0E(z)>1

E[u(w+α(z1))]>u(w+α(E(z)1))]>u(w+0(E(z)1))=u(w)

Wir wenden uns nun den Fällen zu. Da die beiden Multiplikatoren nicht beide Null sein können und nur zwei Werte annimmt, gibt es drei mögliche Kombinationen.λ0

Untersuche den Fall . λ0=1
Dann kann grundsätzlich Null oder positiv sein. Untersuchen Sie den Fall, in dem , dh die Bedingung ist nicht bindend, was impliziert, dass . Mit diesem Kandidatenpaar von Multiplikatoren, , würde die Bedingung erster Ordnung werdenλ1λ1=0α<w{λ0=1,λ1=0}

u[w+α(z1)](z1)dF(z)0E(zu)E(u)0

Da . Auch da , haben wir dasu>0E(u)>0E(z)>1

E(u)<E(u)E(z)E(zu)<E(u)E(z)Cov(z,u)<0

Dies kann aber nicht gelten, da wir , da und , haben, dass in streng zunehmen wird . Die Kovarianz von und kann also nicht negativ sein. Aber dann kann das Paar von Multiplikatorwerten keine Lösung sein, und dies geschieht aufgrund der Annahme . α>0u>0uzzu{λ0=1,λ1=0}u>0

Wir haben die Fälle oder . In beiden Fällen ist dh die Bedingung ist bindend, dh wir haben . QED.{λ0=1,λ1>0}{λ0=0,λ1>0}λ1>0α=w

Verweise

Die Fritz-John-Bedingungen wurden in " F. JOHN. Extremum-Probleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen. In" Studies and Essays, Courant Anniversary Volume " (KO Friedrichs, OE Neugebauer und JJ Stoker, Hrsg.), S. 187-204 angegeben Wiley (Interscience), New York, 1948

und wurden verallgemeinert in

" Mangas, OL & Fromovitz, S. (1967). Die Fritz John notwendigen Optimalitätsbedingungen in Gegenwart von Gleichheit und Ungleichheit Zwänge . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 17 (1), 37-47.

Alecos Papadopoulos
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