Kann jemand grafisch erklären, warum MRS bei monotoner Transformation invariant ist?

Sei eine Hilfsfunktion. Angenommen, ich habe eine Indifferenzkurve, für die U ( x , y ) = ˉ U ist . Dann ist d U = 0 entlang der Kurve und ich kann neu anordnen, um die MRS zu finden.$U(x,y)$$U(x,y) = \bar{U}$$dU = 0$

Angenommen, ich habe eine monotone Transformation meiner Nutzfunktion. Das heißt, eine Funktion f ' ( ⋅ ) >

$$W(x,y) = f(U(x,y))$$ $$f'(\cdot) > 0$$

Da es sich ebenfalls um eine Indifferenzkurve handelt, ist und ich kann wie folgt umordnen$dW = 0$

Daher beobachten wir MRS invariant unter monotone Transformation ist.

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{W_x}{W_y} = -\frac{f'(U(x,y))U_x}{f'(U(x,y))U_y} =-\frac{U_x}{U_y}$$

Meine Frage:

Kann mir jemand grafisch erklären, was das bedeutet? Ich verstehe nicht, warum die Steigung gleich bleibt. Warum bleibt MRS gleich, aber MU ändert sich?

Sie haben Recht, dass sich die Form der Indifferenzkurven nicht ändern sollte, wenn Sie die Utility-Funktion transformieren. Der Grund ist, dass Sie entlang einer Achse transformieren, die senkrecht zu der Ebene ist, in der die Indifferenzkurve liegt.

Stellen wir uns vor, wir haben zwei Güter, x und y, und nehmen wir an, dass die ursprüngliche Nutzenfunktion durch $U(x,y)=x^\frac{1}{3}y^\frac{2}{3}$$z = U(x,y)$$f(z)$$f(\cdot)$

$x-y$$(x,y) = (10,10)$

Ich habe auch andere Pegelkurven für die Nutzwertstufen 4, 8, 12, ... 40 eingefügt. Beachten Sie, dass diese Pegelkurven in der unteren linken Ecke eingequetscht werden, wenn der Faktor, mit dem die ursprüngliche Nutzwertfunktion multipliziert wird, größer wird.

Sie können dasselbe bei anderen monotonen Transformationen beobachten, zum Beispiel bei der Translation (Hinzufügen einer Konstante) und der Potenztransformation.

Präferenzen sind primitiv. MRS wird ausschließlich anhand der primitiven Präferenzen definiert:

Wenn ich auf 1 Apfel verzichte (gut auf der horizontalen Achse), ist MRS die Anzahl der Bananen (gut auf der vertikalen Achse), die mir gegeben werden muss, um gleichgültig zu bleiben.

Wenn sich die Einstellungen in keiner Weise ändern, sollte sich auch die MRS nicht ändern.

Nützliche Funktionen / Darstellungen sind lediglich ein (sehr) praktisches Werkzeug, um diese Präferenzen zu untersuchen. Unter bestimmten technischen Bedingungen kann auch von einem Grenznutzen gesprochen werden. Man muss sich jedoch immer daran erinnern, dass dies lediglich Werkzeuge sind, mit denen wir Präferenzen untersuchen können.

So können Nutzenfunktionen monoton transformiert werden. Aber solche monotonen Transformationen werden den Vorlieben überhaupt nichts anhaben. Und so wird sich natürlich auch die MRS nicht ändern. Aber die Utility-Funktionen (und die MU) werden.

$z$$(x,y)$$f'<0$

In der statistischen Theorie gibt es vier grundlegende Messebenen :

• nominal (auch als "kategorisch" bezeichnet)
• Ordinal-
• Intervall
• Verhältnis

(Beachten Sie, dass Intervall und Verhältnis manchmal gemeinsam als "Kardinal" -Daten bezeichnet werden.)

Sie werden manchmal anhand der Art der mathematischen Transformationen definiert, die für einen bestimmten Datensatz zulässig sind, ohne die relevanten Eigenschaften (Unterscheidbarkeit, Reihenfolge und relative / absolute Größe) zu ändern.

Ordnungsdaten ermöglichen eine monotone Transformation der Daten - auch als "ordnungserhaltende" Transformationen bezeichnet. Wenn davon ausgegangen wird, dass das Dienstprogramm vom ordinalen Typ ist (was in der Regel - wenn auch nicht immer und nicht historisch - der Fall ist), sind solche Transformationen zulässig und wirken sich nicht auf die Ergebnisse zulässiger Berechnungen für die Daten aus. Dies gilt nicht nur für den Gebrauch. Alle ordinalen Daten ermöglichen solche Transformationen.