Für welche Nachfragefunktion ist ein Monopol am schädlichsten?

Betrachten Sie ein Unternehmen ohne Grenzkosten. Wenn es das Produkt kostenlos gibt, ist die gesamte Nachfrage befriedigt und die soziale Wohlfahrt steigt um den maximal möglichen Betrag; nennen diese Erhöhung $W$ .

Da das Unternehmen jedoch ein Monopol ist, reduziert es die Nachfrage und erhöht den Preis, um seine Einnahmen zu optimieren. Nun ist die Sozialhilfe erhöht sich um einen kleineren Betrag, sagen wir, $V$ .

Definiert den relativen Verlust des Wohlbefinden (Mitnahme-) als: $W/V$ . Dieses Verhältnis hängt von der Form der Nachfragefunktion ab. Meine Frage ist also: Ist dieses Verhältnis begrenzt oder kann es beliebig groß sein? Bestimmtes:

• Wenn $W/V$ begrenzt ist, für welche Anforderungsfunktion wird es dann maximiert?
• Wenn $W/V$ unbegrenzt ist, kann es dann für welche Familie von Nachfragefunktionen beliebig groß werden?

Folgendes habe ich bisher versucht. Sei $u(x)$ die Grenznutzenfunktion des Verbrauchers (die auch die inverse Nachfragefunktion ist). Angenommen, es ist endlich, glatt, monoton abnehmend und auf die Domäne skaliert $x\in[0,1]$. Sei $U(x)$ sein Anti-Derivat. Dann:

• $W = U(1)-U(0)$ , die Gesamtfläche unter$u$ .
• , wobei x m die vom Monopol erzeugte Menge ist. Dies ist der Bereich unter u mit Ausnahme des Teils "Gewichtsverlust".$V = U(x_m)-U(0)$$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$
• u ( x m ) = - x m u ' ( x m$x_m$ kann normalerweise unter Verwendung der Bedingung erster Ordnung berechnet werden: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich verhält, habe ich einige Funktionsfamilien ausprobiert.$W/V$

Sei , wobei ein Parameter ist. Dann: t > $u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• Die Bedingung erster Ordnung ergibt: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Wenn , , so ist für diese Familie begrenzt.W / V → 1 / ( 1 - 1 / e ) ≈ 1,58 W /$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Aber was passiert mit anderen Familien? Hier ist ein weiteres Beispiel:

Sei , wobei ein Parameter ist. Dann: t > $u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• Die Bedingung erster Ordnung ergibt: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Wenn , wieder , so ist auch hier wieder begrenzt.W / V → 1 / ( 1 - 1 / e ) ≈ 1,58 W /$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Und ein drittes Beispiel, das ich numerisch lösen musste:

Sei , wobei ein Parameter ist. Dann:a > $u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• Die Bedingung erster Ordnung ergibt: . Unter Verwendung dieses Desmos-Graphen fand ich heraus, dass . Natürlich ist diese Lösung nur gültig, wenn ; Andernfalls erhalten wir und es gibt keinen Gewichtsverlust.x m ≈ 0.55 ( a - 1 ) , 0,55 ( a - 1 ) ≤ 1 x m = $x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Unter Verwendung des gleichen Graphen fand ich heraus, dass mit abnimmt , so dass sein höchster Wert bei liegt und ungefähr 1,3 beträgt.a a = $W/V$$a$$a=2$

Gibt es eine andere Familie endlicher Funktionen, für die unendlich wachsen kann?$W/V$

Bei der Nachfragekurve sollte ein beliebig großes Verhältnis auftreten

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Die Monopolistenpreise bei , aber der Konsumentenüberschuss bei ist unendlich, weil der Bereich unter der Nachfragekurve .P = 0 ∫ ∞ 1$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$