Endlos wiederholtes Spiel: Gefangenendilemma

Ich habe die meiste Beinarbeit geleistet, aber ich habe die letzte Hürde nicht geschafft. Könnten Sie bitte meine Fehler korrigieren?

Unter der Bedingung ich das unendlich wiederholte Spiel betrachten, bei dem die obige strategische Form das Bühnenspiel ist. Der Abzinsungsfaktor: .$x>0$$\delta=\frac{1}{2}$

Ich muss eine weitere Bedingung für das Spiel finden, so dass wir ein perfektes Gleichgewicht im Teilspiel haben, in dem beide Spieler in jeder Periode "zusammenarbeiten".

Was ich bisher gemacht habe

Das Profil der streng dominierten Strategien bildet die kooperative Strategie mit und .$(u,r)$$x>0$$x \ne 1$

Die Verschreibung (kooperative Strategie) lautet daher$(u,r)=(x+1,x+1)$

Der grimmige Auslöser ist$(d,l) = (x,x)$

Auszahlung von der Befolgung des Rezepts:

$(x+1) + \delta(x+1) + \delta^2(x+1) +\delta^3(x+1)+... = \frac{x+1}{1-\delta}$

Auszahlung von Abweichungen ( hier kommt der Fehler ) :

$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +... =\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$

Der Teil in Rot sollte anscheinend sein:

$$\frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$

Ich verstehe nicht, warum ich falsch liege. Können Sie das bitte erklären? Mein Verständnis war, dass, wenn ein Spieler in Periode 1 abweicht, um zu erhalten, beide Spieler das grimmige Auslöseprofil von Periode 2 bis auf Dauer spielen müssen. Infolgedessen würden die Spieler verpassen . Der Auszahlungszähler wäre daher anstelle von .$2x$$(d,l)$$\delta(x+1)$$\color{red}{2x - \delta(x+1)}$$\color{blue}{(2-\delta)x}$

Da der richtige Zähler , kann ich die Frage leicht beenden:$\color{blue}{(2-\delta)x}$

$$\frac{x+1}{1-\delta} \ge \frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$

Daher hätten wir ein perfektes Gleichgewicht im Teilspiel, wenn .$x \le 2$

Das Problem ist, dass mein Fehler darin liegt:

$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +...$ $=\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$

Aber ich weiß nicht warum. Ich möchte wissen, warum ich falsch liege und warum der richtige Zähler ist.$\color{blue}{(2-\delta)x}$

Vielen Dank.

Die Auszahlung für die Auslösestrategie lautet:

$$\sum_{i=0}^{\infty}(x+1) \delta^i=\frac{x+1}{1-\delta}$$

Wenn ich abweiche und oder spiele, die Auszahlung $l$$d$

$$2x + \sum_{i=1}^{\infty}x \delta^i = 2x+ x\frac{\delta}{1-\delta}=\frac{2x(1-\delta) + x\delta}{1-\delta}= \frac{x(2-\delta)}{1-\delta}$$

dann ist die Bedingung

$$\frac{x+1}{1-\delta} \geq \frac{x(2-\delta)}{1-\delta}$$

Ich hoffe das wird dir helfen;)