CES-Produktionsfunktion mit

Bei Verwendung von CES-Produktionsfunktionen der Form wir immer an, dass . Warum machen wir diese Annahme? Ich verstehe, dass wenn , die Produktionsfunktion nicht mehr konkav ist (und daher die Produktionsmenge nicht konvex ist), aber was bedeutet das für Gewinn- und Kostenfunktionen? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

microeconomics mathematical-economics production-function producer-theory Sher Afghan
quelle

ρ

$\rho$ über eins würde zu einer Ecklösung führen, bei der nur ein Eingang mit positiver Menge ausgewählt wird. Da der Sinn von Multi-Good-Produktionsfunktionen normalerweise darin besteht, Umstände zu modellieren, in denen tatsächlich zwei Eingaben verwendet werden, ist dies ein unerwünschtes Merkmal.

BKay

Wird es eine Lösung für das Profit-Max-Problem geben?

Sher Afghan

@SherAfghan, die lineare Funktion mit scheint nicht zur CES-Familie zu gehören, da ihre Substitutionselastizität nicht konstant ist.

ρ = 1

$\rho = 1$

Garej

Antworten:

Das Problem mit ist, dass das Grenzprodukt der Faktoren nicht abnimmt ( ) oder konstant ( ), sondern zunimmt, was eine seltsame Annahme ist. Solche Funktionen ergeben Isoquanten, die konkav sind und dazu führen können, dass nur ein Faktor verwendet wird (wie BKay sagte). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Wie in allen allgemeinen CES, das Grenzprodukt des Faktors ist $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Die Ableitung dieses MP in Bezug auf ist nach einiger Neuordnung, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Für ist dieser Ausdruck positiv, was bedeutet, dass die Produktivität eines Faktors steigt, wenn mehr von diesem Faktor verwendet wird. $\rho>1$

Isoquanten finden Sie, indem Sie die Produktionsfunktion als umschreiben . In der generischen CES ist dies $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Diese sind im Fall von linear , im Fall von Cobb-Douglas konvex (wobei die obige Funktion , eine Übertreibung) und im Fall von konkav . Sie zum Beispiel und Sie haben: $\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

Dies ist die Formel eines Kreises, der bei mit dem Radius zentriert ist . Normalerweise ist für die Produktionstheorie nur interessant, wodurch Sie die konkaven Isoquanten für verschiedene Ebenen von . Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel: Für ein gegebenes Faktorpreisverhältnis gibt es eine Ecklösung (Punkt A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Code zur Wiedergabe der Abbildung hier )

Luchonacho
quelle

Hier ist mein Versuch, diese Frage zu beantworten. Sie ist unvollständig und / oder falsch. Bitte helfen Sie mit, Vorschläge zu machen, und ich werde diese bearbeiten.

Kostenminimierung

Da nicht quasi konkav ist, werden die entsprechenden isoquanten Kurven nicht kovex zum Ursprung sein (dh ihre obere Konturmenge wird nicht konvex sein). In diesem Fall sollte das Unternehmen eine Ecklösung verwenden, und die Anforderungen an bedingte Faktoren werden wie folgt angegeben: Diese Anforderungen an bedingte Faktoren geben die Kostenfunktion an; Gewinnmaximierung $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Ich bin hier wirklich verwirrt. Obwohl die Produktionsfunktion konvex ist, weist sie dennoch nicht steigende Skalenerträge auf. . Das heißt, die Lösung wird noch existieren (richtig?). Wie wirkt sich die Nichtkonkavität der Produktionsfunktion auf die gewinnmaximierende Lösung aus? $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

Sher Afghan
quelle

Ihre Verwirrung ist leicht zu klären: Denken Sie daran, dass konvexe Präferenzen keine konkave Utility-Funktion implizieren. Sie implizieren nur, dass die oberen Kontursätze konvex sind. In ähnlicher Weise gilt für die betreffende Produktionsfunktion . steuert, ob die Funktion konkav oder konvex ist. steuert, ob die Kontursätze konvex sind.

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

HRSE

Ich verstehe nicht, konkave Funktion impliziert, dass die oberen Konturen konvex sind. bedeutet, dass die Funktion konkav ist und dass sie quasi konkav ist, was bedeutet, dass die oberen Kontursätze zum Pegelsatz konvex sind. Soweit ich weiß, erzeugt in Ihrem Beispiel die monotone Transformation der ursprünglichen Funktion, die konkav sein kann oder nicht. Wie wirkt sich das auf gewinnmaximierende Lösungen aus?

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

Sher Afghan

Angenommen, . Das oben definierte Aggregat nähert sich der Max-Funktion der Potenz von . Somit sind die oberen Kontursätze nicht konvex. Jetzt können Sie für jedes ein ausreichend kleines so dass die Funktion zunehmende oder abnehmende Skalenerträge aufweist. Skalenerträge stehen somit in keinem Zusammenhang mit der Konvexität der oberen Kontursätze.

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

HRSE

Aha. Selbst wenn , können wir die gewinnmaximierende Lösung in Abhängigkeit vom Wert von . Habe ich Recht, wenn ich sage, dass wir eine Lösung haben werden (die Produktionsfunktion wird abnehmende Skalenerträge aufweisen), wenn , andererseits wenn , wird die Produktionsfunktion steigende Skalenerträge aufweisen und es wird keine Lösung sein, um max Problem zu profitieren?

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

Sher Afghan

Ob es zusätzlich eine Lösung für das Gewinnmaximierungsproblem gibt, hängt von der Marktstruktur ab. Das Problem der Gewinnmaximierung eines Monopolisten ist normalerweise noch genau definiert, während dies für preisgebende Unternehmen nicht der Fall ist.

HRSE

Kurz gesagt, für es kurzfristig keine Lösung für die Gewinnmaximierung geben (mindestens ein Faktor ist festgelegt) für den Wettbewerbsfall (Preis ist fest). $\rho \geq 1$

Um von der Produktionsfunktion zur Kostenfunktion zu gelangen, müssen wir Faktorpreise ( und für Lehrbuchbeispiele) einführen und das Optimierungsproblem lösen. Eine ausführliche Darstellung finden Sie hier . $r$ $w$

Um die Intuition aufzubauen, nehmen wir und legen einen Faktor fest. Um mit Profit , sollten wir auch Preise für produzierte Waren einführen . Das Problem könnte also wie folgt aussehen ( ): $w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

Es kann gezeigt werden, dass für die Gewinnfunktion dieser Art der SOC: , was bedeutet, dass es kein globales Maximum gibt (obwohl ein Minimum existiert). $\pi'' >0$

Beachten Sie Folgendes, um den gleichen Effekt in einem einfacheren Beispiel ( nicht von CES abgeleitet) zu sehen:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC ist . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Beachten Sie aber nicht wie üblich . Vergleichen wir diese beiden Fälle für im Diagramm, um den Unterschied zu erkennen. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

garej
quelle