Beziehung zwischen starken und schwachen Axiomen offenbarter Präferenz

Ich sehe immer wieder die folgenden Tatsachen, die gerade beim Lesen behauptet wurden:

Sei W = schwaches Axiom der offenbarten Präferenz Sei S = starkes Axiom der offenbarten Präferenz Sei C = der Warenvektor

1. $W \iff S$ wann $C \in R^2$

2. $W \not\to S$ wann $C \in R^i, i>2$

Ich kann das Papier von Rose von 1958, das die meisten anderen Papiere zitieren, nicht finden, aber ich interessiere mich für den Beweis für 1.

Meine Gedanken dazu:

Ich denke, dass jeder Agent, dessen Anforderungsstruktur W für einen zweidimensionalen Warenraum erfüllt, rationale Präferenzen haben muss. Da seine Präferenzen rational sind, muss seine Nachfragestruktur S erfüllen. Ist das ungefähr richtig?

Meine Fragen: 1. Hat jemand einen zuverlässigen Link zu Roses Papier? 2. Hat jemand einen zuverlässigen Link zu alternativen Quellen?

3. Wenn wir drin sind $R^2$und wir haben dieses xRy, ist es wahr, dass der euklidische Abstand vom Ursprung zu x größer sein muss als der euklidische Abstand vom Ursprung zu y? Wenn ja, ist es möglich, diese Eigenschaft zu verwenden, um dies zu zeigen$W\iff S$ im $R^2$?

Die einzige Zeitschrift, die es veröffentlicht hat, befindet sich hinter einer Paywall: http://www.jstor.org/stable/2296210?seq=1#page_scan_tab_contents. Überprüfen Sie jedoch den Zugriff Ihrer Schulbibliothek darauf.

Der Beweis ist ziemlich kompliziert und basiert auf einem Induktionsargument. Als ich versucht habe, SARP und WARP zu verknüpfen, habe ich immer nur Hinweise auf sein Papier gefunden.

Unten nur eine Skizze. Nun, es gibt noch einen anderen Weg, dies zu beweisen. Nehmen Sie zuerst das Walras'sche Gesetz an$p'x(p,w)=w$Zweitens wissen wir durch WARP, dass die Nachfrage homogen von Grad Null ist $x(\alpha p, \alpha w)=x(p,w)$. Dies ist ein Ergebnis von John (John, R. (2000). Eine Charakterisierung erster Ordnung der verallgemeinerten Monotonie. Mathematische Programmierung), 88 (1), 147–155. Dies bedeutet, dass das Nachfragesystem L = 2 normalisiert werden kann und dass nur die Slutsky-Matrix überprüft werden kann$S_{i,j}$ zum $i,j \in {1,\cdots,L-1}$nach dem Entfernen der letzten Spalte und Zeile aufgrund des kleineren Dimensionalitätsprodukts der HD0-Eigenschaft und des Walras'schen Gesetzes. OK, für L = 2 ist die reduzierte Slutsky-Matrix nur ein Skalar, dies ist standardmäßig symmetrisch und bei WARP ist es auch NSD, dh ich kann die Ergebnisse der Integrierbarkeit der Nachfrage anwenden (im Grunde jeder neue Beweis des Originals) Das Hurwicz-Uzawa-Ergebnis, das auf die Begrenzung der Vermögenseffekte verzichtet, lässt den Schluss zu, dass das Nachfragesystem durch Maximierung einer kontinuierlich differenzierbaren Nutzenfunktion erzeugt wird$u$ vorbehaltlich der linearen Budgetbeschränkung $p'x=w$das ist monoton. Dies reicht wiederum aus, um zu beweisen, dass das Nachfragesystem GARP erfüllt, und wenn es einen eindeutigen Wert hat, erfüllt es SARP.