Pole und Bode Plots

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Ich habe drei Fragen, die mich schon lange beschäftigen:

  1. Wir sagen, dass in einem Bode-Diagramm die Verstärkung um 20 dB pro Jahrzehnt abnimmt, wenn ein Pol angetroffen wird. Aber sind Pole nicht definiert als die Werte von s , die die Übertragungsfunktion unendlich machen? Warum steigt der Gewinn an diesem Punkt nicht, anstatt zu sinken?

  2. Was passiert physikalisch, wenn wir ein System mit einer Polfrequenz speisen?

  3. Betrachten Sie auch eine Übertragungsfunktion 1/(s+2) . Das System hat einen Pol bei s=(-2+j0) . Das heißt, für die Pole, σ=-2 und ω=0 . Aber wenn wir ein sinusförmiges Signal an seinen Eingang legen und den Bode-Plot zeichnen, warum sagen wir dann, dass es einen Pol mit 2 rad / s gibt (obwohl für den Pol ω=0 und σ=2 )?

Vishnudas Thaniel S
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1
Kennen Sie die Bedeutung der "Polfrequenz"? Dies ist eine Frequenz, die mit der Länge des Vektors vom Ursprung bis zur Polposition identisch ist (Pythagoras-Regel). Bei einem Realpol ist die Polfrequenz identisch mit dem negativen Realteil (-sigma). Daher ist es nicht möglich, irgendeine Schaltung mit ihrer Polfrequenz anzuregen. Es ist nur ein künstliches - aber sehr hilfreiches Werkzeug.
LvW
@LvW: Diese Frequenz wird normalerweise als Eigenfrequenz bezeichnet . Die Polfrequenz wird durch den Imaginärteil des Pols bestimmt.
Matt L.
Matt L., tut mir leid, aber ich bin anderer Meinung. Ich werde nach Referenzen suchen.
LvW
Matt L., ich fürchte, es gibt einen Unterschied in der Terminologie zwischen Deutschland und den USA. Ich denke, ich muss zustimmen, dass der Parameter, den wir "Polfrequenz" nennen, in Ihrem Land als "Eigenfrequenz" bekannt ist. Es tut uns leid.
LvW
@Matt L., ich freue mich Ihnen mitteilen zu können, dass ich nicht ganz "out of the track" bin: Es gibt ein Buch über Filtertechniken "Analog and Dig. Filters" (Harry YFLam, Bell Inc.), bei dem die Größenordnung von Die Polposition (Entfernung vom Ursprung) wird auch als "Polfrequenz" bezeichnet. Gut zu wissen, aber wir sollten immer vorsichtig sein, wenn wir solche Schlüsselwörter verwenden.
LvW

Antworten:

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Das Bode-Diagramm ist kein Diagramm, in dem die Übertragungsfunktion ( ) gegen s aufgetragen ist . H ( s ) ist eine komplexe Funktion und ihr Magnitudenplot repräsentiert tatsächlich eine Oberfläche im kartesischen Koordinatensystem. Und diese Oberfläche hat an jedem Pol Spitzen bis ins Unendliche, wie in Abbildung gezeigt:H(s)sH(s)

Bildbeschreibung hier eingeben

Bode - Diagramm wird durch erste substituierende erhalten in H ( s ) und dann in polarer Form darstellen H ( j ω ) = | H ( ω ) | ϕ ( ω ) . H ( ω ) gibt den Bode-Plot der Größe und ϕ ( ω ) den Bode-Plot der Phase an.s=jωH(s)H(jω)=|H(ω)|ϕ(ω)H(ω)ϕ(ω)

Das Bode-Betragsdiagramm ist die asymptotische Approximation des Betrags der Übertragungsfunktion ( ) gegen den Logarithmus der Frequenz im Bogenmaß / s ( log 10 | ω | ) mit | H ( s ) | (ausgedrückt in dB) auf der y-Achse und log 10 | ω | auf der x-Achse.|H(ω)|log10|ω||H(s)|log10|ω|

Zu den Fragen kommen:

  1. An Polen ist die komplexe Oberfläche von Spitzen bis ins Unendliche nicht | H ( ω ) | .|H(s)||H(ω)|

  2. Wenn ein System mit der Polfrequenz gespeist wird, hat der Cosponsoring-Ausgang dieselbe Frequenz, aber Amplitude und Phase ändern sich. Der Wert kann durch Ersetzen der Frequenz in Radianten / Sek. In und ϕ ( ω ) .|H(ω)|ϕ(ω)

  3. Ein Pol mit -2 rad / sec und 2 rad / sec hat den gleichen Effekt auf . Und unser Interesse gilt dem Frequenzgang. Wir brauchen also nur einen positiven Teil davon.|H(ω)|

Nidhin
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Schöne Antwort und ich liebe es, dass Sie sich die Zeit genommen haben, es schön zu formatieren! +1
Null
Ich kann nicht folgen. Erstens stellt es H(s)selbst keine Oberfläche dar, wie Sie zeigen. Stattdessen hat es bei jedem (komplexen) Wert einen komplexen Wert. Was Sie anzeigen, ist wahrscheinlich der Absolutwert (Betrag) |H(s)|oder vielleicht der Realteil real(H(s)). Was Sie im ersten Absatz unter dem Bild sagen: Wenn real(H(s))und / oder imag(H(s))bis unendlich, dann geht die Größe |H(s)|auch bis unendlich. Wie könnte es nicht?
Christopher Creutzig
@ChristopherCreutzig Die gezeigte Grafik ist eine 3D-Darstellung. Realteil von 's' auf der x-Achse, Imaginärteil von 's' auf der y-Achse und Größe von H (s) auf der z-Achse. aber ich kann sehen, dass es einige Verwirrungen gibt. Lassen Sie mich eine Änderung vornehmen.
Nidhin
Ich habe diesen Teil bekommen. Meine Beschwerde ist, dass der Graph nicht von H (s) ist, da es einfach unmöglich ist, eine komplexe Funktion eines komplexen Parameters auf diese Weise zu zeichnen (wenn weniger als vier Dimensionen verwendet werden). Die gezeigte Oberfläche ist die von |H(s)|und sollte nicht als Fläche (Plot) von bezeichnet werden H.
Christopher Creutzig
@Christopher jetzt hab ich dich. Ich habe die Worte ziemlich verwirrend verwendet. Hoffe, dass ich diesmal klargestellt habe.
Nidhin
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Beim Versuch, die Übertragungsfunktionen zu verstehen, halte ich die "Gummiplatten-Analogie" für sehr nützlich. Stellen Sie sich eine elastische Gummiplatte vor, die die komplexe Ebene bedeckt, und stellen Sie sich vor, dass die Platte bei jeder Nullstelle der Übertragungsfunktion am Boden angeheftet ist und an jeder Stange eine buchstäblich dünne Stange die Gummiplatte nach oben drückt. Der Betrag des Frequenzganges ist die Höhe des Gummiblattes entlang der j & ohgr; -Achse.sjω

  1. Aus der obigen Analogie geht die Verstärkung natürlich in Richtung Pole. Wenn Sie sich jedoch vom Pol entfernen, wird die Übertragungsfunktion durch den Beitrag des Pols herabgesetzt (z. B. in Richtung der nächsten Null). Stellen Sie sich das einfache System vor, das Sie in Ihrer dritten Frage als Beispiel angegeben haben. Es hat einen reellen Pol bei und - aufgrund dieses Pols - auch eine Null bei s 0 = . Wenn Sie sich also mit zunehmender Häufigkeit vom Mast entfernen, sinkt die Übertragungsfunktion, da die Gummiplatte im Unendlichen am Boden haftet. Mathematisch ist dies auch leicht zu erkennen: H ( s ) = 1s=-2s0= In Dezibel erhalten wir 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(ω

    H(s)=1s+2|H(jω)|2=1ω2+4=141(ω2)2+1
    Fürω2 kannder zweite Term auf der rechten Seite von (1) durch-10log10(ωapproximiert werden
    (1)10Log10|H(jω)|2=-10Log10(4)-10Log10[(ω2)2+1]
    ω2 was eine gerade Linie mit einer Steigung von-20 ist
    -10Log10(ω2)2=-20Log10(ω/2)
    pro Jahrzehnt.-20dB
  2. Wenn Sie ein System mit einem Signal erregen, das einem seiner Pole entspricht, wird dieses Eingangssignal im Vergleich zu Eingangssignalen mit anderen Frequenzen "verstärkt". Beachten Sie jedoch, dass für ein stabiles System das Ausgangssignal immer abfällt. ZB wenn Sie das System mit Übertragungsfunktion anregenH(s)=1s+2x(t)=e-2ty(t)=te-2t, wo der Faktor tentspricht der "Verstärkung" des Eingangssignals durch das System. Der Exponentialfaktor bewirkt jedoch eine Annäherung des Signals0 für große Werte von t.

  3. Kurz gesagt, wir sagen nicht, dass es eine Stange gibt 2rad / s, weil es nicht gibt. In der Tat wird die Grenzfrequenz durch den Realteil des Pols bestimmt, dh der Startpunkt der Linie mit negativer Steigung im Bode-Plot wird durch den Wert bestimmt2. Dies ist das Beispiel, das ich in Punkt 1 oben gegeben habe, wo die Näherung der geraden Linie mit-20 dB pro Jahrzehnt gilt für ω2. Der Wert2 wird nicht durch die Polfrequenz (die Null ist) bestimmt, sondern durch den Realteil des Pols.

Matt L.
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Ich habe diese Analogie schon einmal gehört und denke, sie ist die beste, um das Konzept zu verstehen. Und vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, Ihre Antwort schön zu formatieren! +1
Null
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enter image description here

Die Grafik zeigt den Unterschied zwischen der Eigenfrequenz im Komplex s-Ebene (unendlich) und die entsprechende Größenspitze entlang der jω Achse, die während der Messung beobachtet werden kann: Der Graph gehört zu einer Eigenfrequenz von ωp=1000 rad / s und ein Polqualitätsfaktor Q.p=1.3(Dies ist ein Maß für das beobachtbare Gain-Peaking). Dieses Diagramm zeigt eine Chebyshev-Charakteristik 2. Ordnung mit einer Welligkeit von 3 dB im Durchlassbereich.

LvW
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Das "s" in Ihren Gleichungen ist die Konstante in der Funktion exp (s * t). Wenn also s eine reelle Zahl ist, ist diese Zeitfunktion eine exponentiell wachsende oder fallende Funktion. Ihr Beispiel mit s = -2 ist eine exponentiell fallende Funktion. Für jede Polzahl wird der Ausgang größer, wenn Sie einen Eingang an dieser Zahl anlegen. Wenn Sie ein exponentiell abfallendes Signal an Ihre Beispielschaltung anlegen, wird das Ausgangssignal auf unendlich gesetzt. (Beachten Sie jedoch, dass es nicht möglich ist, ein Signal zu erzeugen, das immer exponentiell abfällt, da ein solches Signal in der Vergangenheit manchmal sehr groß ist.) Wenn Sie von Frequenzen wie 2 Radianten pro Sekunde sprechen, sprechen Sie von Polen bei j * 2 und nicht von 2, sodass diese Signale sinusförmig sind. Es ist möglich, Signale zu erzeugen, die Sinuswellen sind (zumindest für eine ziemlich lange Zeit).

user69795
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Da Sie seine Frage nicht beantwortet haben, sollte dies ein Kommentar sein
Pedro Quadros