Skalieren der FFT-Ausgabe nach Anzahl der Punkte in der FFT

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Bei der Berechnung der N-Punkt-FFT eines Signals wird das Ergebnis immer durch N geteilt. Ich kann verstehen, warum dies bei einer Summierung über die N Punkte der Fall ist, aber häufig ist das Ergebnis der FFT-Operation eher ein Vektor der Länge N. als eine Summe. Warum wird dann der Längen-N-Vektor, der die Ausgabe der FFT ist, mit der Anzahl der Punkte (N) skaliert, die zur Berechnung der FFT verwendet werden? Vielen Dank.

John
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gehört auf dsp.stackexchange.com
Jason S
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Dies sollte zu DSP.SE
Endolith
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@endolith Obwohl dies unter DSP.SE möglicherweise besser ist, ist es sehr unwahrscheinlich, dass es migriert wird. Ein Moderator kann dies bei einer Frage, die älter als 60 Tage ist, nicht tun, sodass ein Mitarbeiter von Stack Exchange beteiligt sein müsste. Ich denke, wenn sie der Meinung wären, dass es sich lohnt, alte Fragen zu migrieren, würden sie dieses Zeitlimit aufheben.
PeterJ

Antworten:

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Der Unterschied besteht darin, dass die digitale Fourier-Transformation (und auch die FFT) einen Vektor der Größe N (oder in einigen Fällen M) ergibt, der Summen von N Abtastwerten enthält.

Grundsätzlich ist jeder Punkt der FFT-Transformation das Ergebnis einer Summe über ein bestimmtes Zeitintervall der zeitbasierten Abtastwerte. Deshalb teilen Sie durch N.

Sie können es so betrachten: Sie nehmen ein Intervall von N Abtastwerten Ihres Signals; Dann summieren Sie im Grunde alle Abtastwerte N-mal, multiplizieren sie jedoch jedes Mal mit einer anderen Funktion, um die Informationen für eine bestimmte Frequenz (oder einen genaueren Frequenzbereich) zu extrahieren.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie anstelle von N Abtastwerten, die jeweils einem Zeitintervall zugeordnet sind, N Abtastwerte (wie zuvor) haben, die sich jedoch jeweils auf das gesamte Intervall beziehen und die Komponente des Signals für einen bestimmten Frequenzbereich beschreiben .

Der Vollständigkeit halber gibt es vier Fälle von Fourier-Transformation:

  1. Kontinuierliche Fourier-Transformation für kontinuierliche zeitliche Signale über ein endliches Intervall, die einen kontinuierlichen Frequenzgang ergibt;

  2. Fourier-Reihe, die ein kontinuierliches und periodisches Signal nimmt und die diskrete Reihe von Harmonischen ergibt, also mit diskreten Frequenzkomponenten;

  3. Zeitdiskrete Fourier-Transformation, der Kehrwert von (2), bei der aus einem zeitdiskreten Signal eine periodische Funktion im Frequenzbereich ergibt;

  4. Digitale Fourier-Transformation, die ein diskretes und periodisches Signal verwendet, um ein diskretes und periodisches Spektrum zu erhalten.

Die Transformation eines periodischen Signals ergibt also ein diskretes Spektrum und umgekehrt.

Clabacchio
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Oh, ich wusste nicht, dass jeder Punkt in der FFT-Ausgabe eine Summe über alle Punkte in der Zeitbereichseingabe ist. Vielen Dank.
John
Sollte in 4.der "Digital Fourier Transform" eine "Discrete Fourier Transform" sein? Das wäre ungefähr das gleiche wie bei FFT.
Volker Siegel
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Der 1 / N-Skalierungsfaktor ist nahezu beliebig platziert. Eine nicht skalierte FFT, gefolgt von einer nicht skalierten IFFT unter Verwendung genau derselben komplexen exponentiellen Twiddle-Faktoren, multipliziert den Eingangsvektor mit dem Skalierer N. Um die ursprüngliche Wellenform nach einem IFFT (FFT ()) - Roundtrip wiederherzustellen (wodurch sie inverse Funktionen erhalten), Einige FFT / IFFT-Implementierungspaare skalieren die FFT um 1 / N, einige skalieren die IFFT um 1 / N, einige skalieren beide um 1 / sqrt (N).

hotpaw2
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+1 für die Erwähnung der verschiedenen Konventionen, wo die Skalierungsfaktoren für FFT / IFFT platziert werden.
Paul R