Eine Diskontinuität bewirkt, dass ein Signal unendlich viele sinusförmige Komponenten hat, aber eine Dreieckwelle ist kontinuierlich. Ich habe eine Klasse besucht, in der ein Lehrer sagte, dass die Dreieckwelle, da sie kontinuierlich ist, durch eine endliche Anzahl von Sinuskomponenten dargestellt werden kann und auch a zeigt endliche Addition mehrerer Frequenzen von Sinuskurven, die die Form einer reinen Dreieckswelle ergaben.
Das einzige Problem, an das ich denke, ist, dass die Ableitung einer Dreieckswelle nicht kontinuierlich ist, da es sich um eine Rechteckwelle handelt, und daher eine unendliche Summe von Sinuskurven benötigt, wenn man die beiden Seiten der Formel der Fourier-Reihe einer Dreieckswelle ableitet erhalten wir eine Rechteckwelle, die als Summe einer endlichen Anzahl von Sinuskurven dargestellt wird. Wäre das nicht falsch?
Antworten:
Zitat von hier : -
Eine diskontinuierliche Änderung der Steigung bedeutet auch einen unendlichen Bereich sinusförmiger Komponenten.
Wenn Sie beispielsweise eine Rechteckwelle zeitintegrieren, erzeugen Sie eine Dreieckwelle, aber nach der Zeitintegration bleibt die gesamte Hamonik der ursprünglichen Rechteckwelle erhalten:
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Entweder hast du das nicht richtig verstanden oder der Ausbilder hat falsch geschrieben. Es ist nicht ausreichend, dass das Signal selbst kontinuierlich ist, aber alle Ableitungen müssen auch kontinuierlich sein. Wenn eine Ableitung eine Diskontinuität aufweist, weist das sich wiederholende Signal eine unendliche Reihe von Harmonischen auf.
Ein Dreieck ist stetig, aber seine erste Ableitung ist eine Rechteckwelle, die nicht stetig ist. Eine Dreieckswelle hat daher eine unendliche Reihe von Harmonischen.
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Mathe Beweis:
Nehmen Sie eine Funktion, die sich aus der gewichteten Summe einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten zusammensetzt.
Ihre Ableitung ist auch eine gewichtete Summe einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten. Dasselbe gilt, wenn Sie mehrmals ableiten.
Da Sinus und Cosinus stetig sind, sind die Funktion und alle ihre Derivate stetig.
Somit kann eine Funktion mit einer Diskontinuität in einer ihrer Ableitungen nicht mit einer endlichen Reihe von Sinus / Cosinus-Komponenten aufgebaut werden.
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Gute Antworten gibt es hier zuhauf, aber es kommt wirklich auf Ihre Interpretation von "kann dargestellt werden durch" an .
Man muss verstehen, dass eine Dreieckswelle ein theoretisches mathematisches Konstrukt ist, das in der Realität nicht existieren kann.
Um eine reine Dreieckswelle zu erhalten, würde man mathematisch gesehen eine unendliche Anzahl harmonischer Sinuswellen benötigen, aber um eine Darstellung einer Dreieckswelle zu erhalten, sind die meisten dieser Komponenten zu klein, um eine Rolle zu spielen oder sind so hochfrequent, dass sie nicht mehr übertragbar sind.
In der Praxis benötigen Sie daher nur eine endliche Zahl, um eine brauchbare Darstellung zu erhalten. Wie gut diese Darstellung sein soll, hängt davon ab, wie viele Harmonische Sie verwenden müssen.
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Ein anderer Ansatz.
Nennen wir x (t) die Dreieckswelle und y (t) ihre Ableitung, die eine Rechteckwelle ist, also diskontinuierlich.
Wenn x (t) eine endliche Summe von sinusförmigen Signalen wäre, wäre seine Ableitung durch die Linearität dieser Operation eine endliche Summe von Ableitungen von sinusförmigen Signalen, dh wiederum eine endliche Summe von sinusförmigen Signalen.
Dieses letztere Signal kann jedoch nicht die Rechteckwelle y (t) sein, da eine endliche Summe von Sinussignalen stetig ist. Wir haben also einen Widerspruch.
Deshalb x (t) muss unendlich Fourier - Komponenten haben.
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Ich schlage einen viel einfacheren Test für die Praxis vor. Wenn die Welle scharfe Ecken hat, müssen unendlich viele sinusförmige Komponenten aufgebaut werden.
Warum? Weil eine endliche Reihe von Sinusperioden keine scharfe Kurve machen kann. Dies wird durch Induktion auf die Zerlegungsregel der Summen bewiesen (dh that (a + b) = Σ a + Σ b für alle endlichen Summationen und alle bedingungslos konvergenten unendlichen Summationen).
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Die Menge von Funktionen, die durch eine endliche Fourier-Reihe ausgedrückt werden können, sind:
Für alle endlichen Mengen von Indizes N . Die termweise Differenzierung zeigt, dass das Derivat (1) stetig und (2) auch in F ist . Da die Ableitung der Dreieckswelle nicht kontinuierlich ist, ist die Funktion der Dreieckwelle nicht in F .
Dieser Nachweis basiert weg von Diskontinuität, aber die meisten stetigen Funktionen tun auch nicht gehören in F . Da kein Polynom oder keine Exponentialfunktion als endliche Summe von Sinus und Cosinus ausgedrückt werden kann, sind die einzigen Elemente von F diejenigen, die explizit in der obigen Form ausgeschrieben sind.
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