Beziehung und Differenz zwischen Fourier-, Laplace- und Z-Transformationen

Ich bin etwas verwirrt über diese Themen. Sie sehen für mich alle gleich aus. Sie scheinen die gleichen Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung und Skalierung zu haben. Ich kann nicht scheinen, sie separat zu setzen und den Zweck jeder Umwandlung zu kennzeichnen. Welche davon wird auch für die Frequenzanalyse verwendet?

Ich konnte (mit Google) keine vollständige Antwort finden, die dieses spezielle Problem behebt. Ich möchte, dass sie auf derselben Seite verglichen werden, damit ich etwas Klarheit habe.

Die Laplace- und Fourier-Transformationen sind stetige (ganzzahlige) Transformationen stetiger Funktionen.

Die Laplace - Transformation ordnet eine Funktion auf eine Funktion F ( s ) der komplexen Veränderlichen s , wobei s = σ + j ω .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Da die Ableitung istsF(s) zugeordnet, die Laplace-Transformation einer linearen Differentialgleichung ist eine algebraische Gleichung. Somit ist die Laplace-Transformation unter anderem zum Lösen linearer Differentialgleichungen nützlich.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Wenn wir den Realteil der komplexen Variablen s auf Null setzen, , ist das Ergebnis die Fouriertransformation F ( j ω ), die im Wesentlichen die Frequenzdomänendarstellung von f ( t ) ist (beachten Sie, dass dies nur gilt, wenn z der Wert von σ der Formel zum Erhalten der Laplace-Transformation von f ( t ) existiert, dh er geht nicht nach unendlich).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Laplace-Transformationen können als Super-Set für CTFT betrachtet werden. Sie sehen, auf einem ROC, wenn die Wurzeln der Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse liegen, dh für s = σ + jω, σ = 0, wie in vorherigen Kommentaren erwähnt, wird das Problem der Laplace-Transformationen auf die kontinuierliche Zeit-Fourier-Transformation reduziert. Um ein wenig zurückzuspulen, wäre es gut zu wissen, warum Laplace-Transformationen als erstes entstanden sind, als wir Fourier-Transformationen hatten. Sie sehen, die Konvergenz der Funktion (des Signals) ist eine zwingende Voraussetzung für die Existenz einer Fourier-Transformation (absolut summierbar), aber es gibt auch Signale in der physikalischen Welt, in denen es nicht möglich ist, solche konvergenten Signale zu haben. Da es jedoch notwendig ist, sie zu analysieren, lassen wir sie konvergieren, indem wir ein monoton abnehmendes exponentielles e ^ σ mit ihm multiplizieren, wodurch sie ihrer Natur nach konvergieren. Diesem neuen σ + jω wird ein neuer Name "s" gegeben, den wir häufig als "jω" für die sinusförmige Signalantwort von kausalen LTI-Systemen einsetzen. Wenn in der S-Ebene der ROC einer Laplace-Transformation die imaginäre Achse abdeckt, ist die Fourier-Transformation immer vorhanden, da das Signal konvergiert. Es sind diese Signale auf der imaginären Achse, die aus periodischen Signalen bestehen.

In ähnlicher Weise ist z-transform eine Erweiterung von DTFT, um erstens die Konvergenz und zweitens die Vereinfachung unseres Lebens zu fördern. Es ist einfach, mit az umzugehen als mit ae ^ jω (Setzen von r, Radius des Kreises ROC als Uneinheitlichkeit).

Es ist auch wahrscheinlicher, dass Sie eine Fourier-Transformation als Laplace für Signale verwenden, die nicht kausal sind, da Laplace-Transformationen das Leben erheblich erleichtern, wenn sie als einseitige Transformationen verwendet werden. Sie können sie auch auf beiden Seiten verwenden, das Ergebnis wird mit einigen mathematischen Variationen dasselbe sein.

Fourier-Transformationen dienen zum Umwandeln / Darstellen einer zeitveränderlichen Funktion im Frequenzbereich.

Eine Laplace-Transformation dient zum Konvertieren / Darstellen einer zeitvariablen Funktion im "Integralbereich".

Z-Transformationen sind Laplace sehr ähnlich, stellen jedoch diskrete Zeitintervallkonvertierungen dar, die für digitale Implementierungen näher liegen.

Sie sehen alle gleich aus, da die zum Konvertieren verwendeten Methoden sehr ähnlich sind.

Ich werde versuchen, den Unterschied zwischen Laplace- und Fourier-Transformation anhand eines Beispiels mit elektrischen Schaltkreisen zu erklären. Nehmen wir also an, wir haben ein System, das mit einer bekannten Differentialgleichung beschrieben wird, zum Beispiel, dass wir eine gemeinsame RLC-Schaltung haben. Nehmen Sie auch an, dass ein gemeinsamer Schalter zum Ein- und Ausschalten des Stromkreises verwendet wird. Wenn wir nun die Schaltung im sinusförmigen stationären Zustand untersuchen wollen, müssen wir die Fouriertransformation verwenden. Andernfalls müssen wir die Laplace-Transformation für die Differentialgleichungen implementieren, wenn unsere Analyse das Ein- oder Ausschalten der Schaltung einschließt.

Mit anderen Worten wird die Laplace-Transformation verwendet, um die vorübergehende Entwicklung der Reaktion des Systems vom Anfangszustand zum endgültigen sinusförmigen stationären Zustand zu untersuchen. Es umfasst nicht nur das Übergangsphänomen aus dem Anfangszustand des Systems, sondern auch den endgültigen sinusförmigen stationären Zustand.

Unterschiedliche Werkzeuge für unterschiedliche Aufgaben. Bereits Ende des 16. Jahrhunderts begannen Astronomen, böse Berechnungen anzustellen. Logarithmen wurden zuerst berechnet, um Multiplikation und Division in einfachere Addition und Subtraktion umzuwandeln. Ebenso verwandeln Laplace- und Z-Transformationen böse Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen, die Sie möglicherweise lösen können. Fourierreihen wurden ursprünglich erfunden, um den Wärmefluss in Ziegeln und anderen partiellen Differentialgleichungen zu lösen. Die Anwendung auf vibrierende Saiten, Orgelpfeifen und Zeitreihenanalysen erfolgte später.

In jedem LTI-System zur Berechnung der Übertragungsfunktion verwenden wir nur die Laplace-Transformation anstelle der Fourier- oder Z-Transformation, da wir bei der Fourier-Transformation die begrenzte Ausgabe erhalten, die nicht unendlich wird. Die Z-Transformation wird für diskrete Signale verwendet, die LTI-Systeme sind jedoch kontinuierliche Signale. Daher können wir die Z-Transformation nicht verwenden. Daher können wir mit der Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion jedes LTI-Systems berechnen.