Übertragungsfunktion mit aufhebbarem Nullpol und Steuerbarkeit

Ich habe eine Übertragungsfunktion (von Ogata's Modern Control Engineering)

\frac{s + 2.5}{(s + 2.5) (s - 1)}

$\frac{s+2.5}{(s+2.5)(s-1)}$

und die Theorie besagt, dass das System eine Pol-Null-Aufhebung hat und nicht steuerbar ist.

Sie sagten, dass ein Zustandsraumrepräsentant dieser Übertragungsfunktion die Matrix A und B hat:

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2.5 & - 1.5 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2.5 & -1.5 \end{bmatrix} \ \text{and} \ B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

Bei Verwendung rank(ctrb(A,B))in MATLAB entspricht das Ergebnis nicht der Dimension des Zustandsraums und kann daher nicht gesteuert werden.

Also wurde ich neugierig und benutzte tf2ss in MATLAB und bekam einen weiteren Vertreter des Zustandsraums:

A = [\begin{matrix} - 1.5 & 2.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} -1.5 & 2.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ \text{and} \ B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Mit rank(ctrb(A,B))in MATLAB, bekam ich einen Wert gleich der Dimension des Zustandsraums , so dass es steuerbar ist.

Was habe ich falsch verstanden? (Und könnte mir jemand beibringen, wie man Matrizen in Markdown für die oben genannten erstellt?)

mechanical-engineering control-engineering control-theory optimal-control Aldo
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Ihre A-Matrix hat einen Tippfehler, die 2 sollte 2,5 sein, und um mehr über die Matrixformatierung in MathJax zu erfahren, werfen Sie einen Blick darauf .

Fibonatic

Ja, aber der Rang der Kontrollierbarkeitsmatrix bleibt immer noch 2 für das Ergebnis, das ich von MATLAB erhalten habe ....

Aldo

Antworten:

Normalerweise sind Zustandsraummodelle, die der gleichen Übertragungsfunktion entsprechen, auch zueinander äquivalent, so dass eine Ähnlichkeitstransformation zwischen ihnen besteht. Wenn die betrachtete Übertragungsfunktion jedoch die Aufhebung des Pols Null hat, dann wäre ein äquivalentes Zustandsraummodell eine rangdefiziente Kontrollierbarkeits- oder Beobachtbarkeitsmatrix , aber es ist nicht festgelegt, welche der beiden rangdefizient sein muss (diese Ränge werden bei einer Ähnlichkeitstransformation konserviert) ). Der niedrigste Rang der Kontrollierbarkeits- oder Beobachtbarkeitsmatrix ist jedoch für jedes Zustandsraummodell gleich, das der Übertragungsfunktion entspricht. Bei der Überprüfung der Nullpunktauslöschung müssen Sie also sowohl die Steuerbarkeit als auch die Beobachtbarkeit überprüfen.

PS: Man könnte argumentieren, dass es immer noch eine Ähnlichkeitstransformation zwischen diesen Zustandsraummodellen gibt. Nur die Transformation sollte selbst einen Rangmangel aufweisen (nicht invertierbar), aber trotzdem und erfüllen . $\hat{A}\,T = T\,A$ $\hat{C}\,T = C$

fibonatisch
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Wow du hast recht; Ich habe die Beobachtbarkeit meines MATLAB-Ergebnisses überprüft und es ist in der Tat rangmangelhaft. Also ist es ein Kompromiss? dh wenn ich in der Lage sein will, die Zustände zu kontrollieren, muss ich die Möglichkeit opfern, einen der Zustände zu beobachten, und ebenso, um alle Zustände beobachten zu wollen?

Aldo

@aldo Wenn Sie einen Controller erstellen möchten, benötigen Sie sowohl Beobachtbarkeit als auch Steuerbarkeit, um Ihre Dynamik vollständig zu formen. Es gibt also keinen Kompromiss, wenn Sie in beiden Fällen Ihre Dynamik nicht vollständig formen können.

Fibonatic