Was genau sind Anyons und wie sind sie für das topologische Quantencomputing relevant?

Ich habe in den letzten Tagen versucht, eine grundlegende Vorstellung davon zu bekommen, was jedermann ist. Die Online-Artikel (einschließlich Wikipedia) scheinen jedoch ungewöhnlich vage und undurchdringlich zu sein, was die Erklärung des topologischen Quantencomputers und anderer Aspekte betrifft.

Die Wiki-Seite über topologische Quantencomputer sagt:

Ein topologischer Quantencomputer ist ein theoretischer Quantencomputer, der zweidimensionale Quasiteilchen, sogenannte Anyons, verwendet , deren Weltlinien in einer dreidimensionalen Raumzeit (dh einer zeitlichen plus zwei räumlichen Dimensionen ) umeinander verlaufen, um Geflechte zu bilden . Diese Geflechte bilden die Logikgatter , aus denen der Computer besteht. Der Vorteil eines Quantencomputers, der auf Quantengeflechten basiert, gegenüber der Verwendung eingefangener Quantenteilchen besteht darin, dass ersterer viel stabiler ist. Kleine kumulative Störungen können dazu führen, dass Quantenzustände sich lösen und Fehler in die Berechnung einfließen. Solche kleinen Störungen ändern jedoch nicht die topologischen Eigenschaften der Geflechte.

Das klang interessant. Als ich diese Definition sah, versuchte ich nachzuschlagen , was anyons sind:

In der Physik ist ein Anyon eine Art Quasiteilchen , das nur in zweidimensionalen Systemen vorkommt und dessen Eigenschaften weitaus weniger eingeschränkt sind als die von Fermionen und Bosonen. Im Allgemeinen kann der Austausch zweier identischer Partikel eine globale Phasenverschiebung verursachen, jedoch keine Auswirkungen auf beobachtbare Objekte haben.

Okay, ich habe eine Vorstellung davon, was Quasiteilchen sind. Wenn sich ein Elektron beispielsweise durch einen Halbleiter bewegt, wird seine Bewegung auf komplexe Weise durch seine Wechselwirkungen mit allen anderen Elektronen und Kernen gestört. Es verhält sich jedoch ungefähr wie ein Elektron mit einer anderen Masse (effektive Masse), das sich ungestört durch den freien Raum bewegt. Dieses "Elektron" mit einer anderen Masse wird als "Elektronenquasiteilchen" bezeichnet. Daher neige ich dazu anzunehmen, dass ein Quasiteilchen im Allgemeinen eine Näherung für das komplexe Teilchen- oder Wellenphänomen darstellt, das in der Materie auftreten kann und das ansonsten mathematisch schwierig zu behandeln wäre.

Ich konnte jedoch nicht folgen, was sie danach sagten. Ich weiß, dass Bosonen Partikel sind, die der Bose-Einstein-Statistik und Fermionen der Fermi-Dirac-Statistik folgen .

Fragen:

• Was aber meinen sie mit "viel weniger eingeschränkt als Fermionen und Bosonen"? Verfolgen "anyons" eine andere statistische Verteilung als die Bosonen oder Fermionen?

• In der nächsten Zeile heißt es, dass der Austausch zweier identischer Teilchen eine globale Phasenverschiebung verursachen kann, die Observablen jedoch nicht beeinflusst. Was ist in diesem Zusammenhang unter globaler Phasenverschiebung zu verstehen? Über welche Observablen sprechen sie hier eigentlich?

• Wie sind diese Quasiteilchen für das Quantencomputing eigentlich relevant? Ich höre immer wieder vage Dinge wie " Die Weltlinien eines jeden bilden Geflechte / Knoten in 3 Dimensionen (2 räumliche und 1 zeitliche). Diese Knoten helfen dabei, stabile Formen von Materie zu bilden, die nicht leicht für Dekohärenz anfällig sind. " Ich denke, dass dieses Ted-Ed-Video eine Idee gibt , aber es scheint sich mit der Beschränkung von Elektronen (und nicht mit "Anyons") zu befassen , um sich auf einem bestimmten geschlossenen Pfad innerhalb eines Materials zu bewegen.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte , die Punkte zu verbinden und die Bedeutung und Bedeutung von "anyons" auf einer intuitiven Ebene zu verstehen . Ich denke, eine Erklärung auf Laienebene wäre für mich anfangs hilfreicher als eine vollständige mathematische Erklärung. Ich kenne mich jedoch mit grundlegender Quantenmechanik auf Bachelor-Niveau aus, sodass Sie dies in Ihrer Erklärung verwenden können.

Das erste, was Sie tun müssen, ist, topologisch zu denken: Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum eine Kaffeetasse topologisch mit einem Donut identisch ist.

Stellen Sie sich nun vor, wir tauschen zwei identische Partikel aus und wiederholen dies, sodass wir wieder da sind, wo wir begonnen haben. Wenden Sie dieses topologische Denken auf die von den Partikeln eingeschlagenen Pfade an: Es ist dasselbe, als würde man nichts tun.

Hier zeige ich ein Bild davon, in dem ein Partikel um ein anderes Partikel gezogen wird. Topologisch kann der eingeschlagene Pfad in den Pfad "Nichts tun" zurückverformt werden.

Die Quadratwurzel dieser Operation ist ein Swap:

Da die Quadratwurzel von 1 entweder +1 oder -1 ist, wirkt sich ein Tausch auf den Zustand aus, indem er mit +1 (für Bosonen) oder -1 (für Fermionen) multipliziert wird.

Um alle zu verstehen, werden wir die gleiche Analyse durchführen, jedoch mit einer Dimension weniger. Ein Partikel, das sich um ein anderes Partikel wickelt, ist also topologisch nicht dasselbe wie die Operation "Nichts tun":

Wir brauchen die zusätzliche dritte Dimension, um den Weg des Jedermanns zu entwirren, und da wir dies topologisch nicht tun können, könnte der Zustand des Systems durch einen solchen Prozess verändert werden.

Die Dinge werden interessanter, wenn wir Partikel hinzufügen. Mit drei Anyons können sich die eingeschlagenen Pfade verheddern oder auf beliebige Weise geflochten werden. Um zu sehen, wie dies funktioniert, ist es hilfreich, drei Dimensionen zu verwenden: zwei Raumdimensionen und eine Zeitdimension. Hier ist ein Beispiel von drei Personen, die herumwandern und dann dorthin zurückkehren, wo sie angefangen haben:

Lange bevor die Physiker über irgendetwas nachdachten, haben die Mathematiker bereits herausgefunden, wie sich diese Flechtprozesse zu neuen Flechten verbinden oder Flechten auflösen. Diese werden in ihrer Arbeit, die auf Emil Artin im Jahr 1947 zurückgeht, als "Flechtgruppen" bezeichnet.

Wie die Unterscheidung zwischen Bosonen und Fermionen verhalten sich auch die verschiedenen Anyon-Systeme bei diesen Geflechtoperationen unterschiedlich. Ein Beispiel für anyon, bekannt als Fibonacci anyon, ist in der Lage, jede Quantenoperation zu approximieren, indem nur diese Arten von Zöpfen ausgeführt werden. Theoretisch könnten wir damit einen Quantencomputer bauen.

Ich habe einen Einführungsbeitrag über anyons geschrieben. Dort habe ich die folgenden Bilder abgerufen: https://arxiv.org/abs/1610.05384 . Es gibt mehr Mathematik und eine Beschreibung eines nahen Verwandten jeder Theorie, der als "modularer Funktor" bekannt ist.

Hier ist eine weitere gute Referenz mit mehr Fibonacci-Anyon-Güte: Einführung in die topologische Quantenberechnung mit nicht-abelschen Anyons

EDIT : Ich sehe, dass ich nichts über die Observablen gesagt habe. Die Observablen des Systems messen den gesamten Anyon-Inhalt innerhalb einer Region. In Bezug auf Anyon-Pfade können wir uns das so vorstellen, dass wir alle Anyons in einer Region zusammenführen und zu einem Anyon "verschmelzen". Für ein System, das Fibonacci anyons unterstützt, gibt es immer nur zwei Ergebnisse für eine solche Messung: Fibonacci anyon oder Vakuum. Ein anderes Beispiel ist der torische Code, bei dem es vier beliebige Ergebnisse gibt.

Sie haben recht, es sieht so aus, als müsste die Wikipedia-Seite bearbeitet werden, also muss ich sie aktualisieren. Aber jetzt beantworte ich alle fünf Fragen:

1) Was meinen sie mit "viel weniger eingeschränkt als Fermionen und Bosonen?

$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2) Verfolgen "anyons" eine andere statistische Verteilung als die Bosonen oder Fermionen?

$\theta$$0$$\pi$

3) Der Austausch von zwei identischen Partikeln kann eine globale Phasenverschiebung verursachen, die Observablen jedoch nicht beeinflussen. Was ist in diesem Zusammenhang unter globaler Phasenverschiebung zu verstehen?

$e^{i\theta}$$-1$

Der Wikipedia-Artikel hätte sagen sollen , dass beim zweimaligen Austausch von zwei identischen Partikeln immer noch eine globale Phasenverschiebung auftritt, was für Bosonen und Fermionen nicht zutrifft. Hier geben der erste und der zweite Pfeil an, wie oft die Partikel 1 und 2 ausgetauscht werden:

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4) Über welche Observablen sprechen sie hier eigentlich?

$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

$|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$

5) Wie sind diese Quasiteilchen für das Quantencomputing tatsächlich relevant?

Es gibt viele Vorschläge zum Bau eines Quantencomputers, zum Beispiel:

• (i) NMR-Quantencomputer nutzen Fermionen (wie den Spin eines Protons).
  
• (ii) Photonische Quantencomputer nutzen Bosonen (Photonen sind Bosonen)
  
• (iii) Topologische Quantencomputer sind ein vorgeschlagener Typ eines Quantencomputers, der anyons verwenden würde.

Ein Vorteil von (iii) gegenüber (i) ist, dass die Wiedergabetreue viel größer sein sollte. Der Vorteil gegenüber (ii) ist, dass es einfacher sein sollte, die Qubits zur Interaktion zu bringen. Der Nachteil gegenüber (i) und (ii) ist, dass Experimente mit anyons vergleichsweise neu sind. NMR gibt es seit 1938 und Laser (Photonik) gibt es seit 1960, aber Experimente mit anyons begannen in den 1980er Jahren und sind noch weit davon entfernt, die Reife der Spinn- oder Laserkunde zu erreichen die Zukunft.

"Ich denke, eine Erklärung auf Laienebene wäre für mich anfangs hilfreicher als eine umfassende mathematische Erklärung."

$e^{i\theta}$

$e^{i\theta}$