Einbettung klassischer Informationen in die Norm eines Quantenzustands

Nach einer Einführung in das quantenmaschinelle Lernen (Schuld, Sinayskiy & Petruccione, 2014) haben Seth Lloyd et al. sage in ihrem Papier: Quantenalgorithmen für wachen und unüberwachten maschinelles Lernen , dass die klassischen Informationen in die Norm eines Quantenzustandes codiert werden $\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$ . Ich bin nicht sicher, ob ich ihre Notation verstehe.

Nehmen wir ein einfaches Beispiel. Angenommen, ich möchte dieses Array speichern: $V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$ der Größe $2^{3}$ im Zustand eines $3$ Qubit-Quantensystems.

Ich kann den Zustand eines $3$ Qubit-Systems wie folgt darstellen:

$|\psi\rangle = a_1|000\rangle + a_2|001\rangle + a_3|010\rangle + a_4|011\rangle + a_5|100\rangle + a_6|101\rangle + a_7|110\rangle + a_8|111\rangle$ (unter VerwendungStandardbasis)wobei$a_i\in \Bbb C \ \forall \ 1 \leq i\leq 8$ .

Ich konnte darstellen $V$ als Vektor $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ wobei $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ bildet eine Orthonormalbasis in $\Bbb R^{8}$ und die Standard - euklidische Norm schreiben , um es als .$|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$

Danach bin ich verwirrt, wie ich die Koeffizienten . Soll ich zuweisen nur 3 zu einem 1 , 2 zu einem 2 und so weiter?$a_1,a_2,..,a_8$$3$$a_1$$2$$a_2$

Aber andererseits :

Betrachten Sie den Vektor dimensionalen komplexen Vektor → v mit Komponenten { v i = | v i | e i ϕ i } . Angenommen, { | v i | , ϕ i } werden als Gleitkommazahlen im Quanten-Direktzugriffsspeicher gespeichert. Konstruktion des log 2 N Qubit-Quantenzustands | v ⟩ = | → v | - $N=2^{n}$$\vec{v}$$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$$\{|v_i|,\phi_i\}$$\log_2 N$ dannO(log2N)Schritte, solange die Subnormen auch im qRAM angegeben sind. In diesem Fall kann jeder Zustand inO(logN)Schrittenkonstruiertwerden.$|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$\mathcal{O}(\log_2 N)$$\mathcal{O}(\log N)$

Erstens verstehe ich ihre Vorstellung eines dimensionalen komplexen Vektors nicht. Wenn jede der Komponenten ihres klassischen Datenarrays zwei Gleitkommazahlen hat, wäre die Codierung in einen n- Qubit-Quantenzustand nicht gleichbedeutend mit dem Speichern eines klassischen Arrays mit einer Größe von 2 × 2 n in einem n- Qubit-System? Ja, ich weiß, dass eine 1 , eine 2 , . . , A 2 n komplexe Zahlen sind sowohl die Größe und Richtung aufweist, und kann daher speichern 2 × 2 $2^n$$n$$2\times 2^{n}$$n$$a_1,a_2,..,a_{2^n}$$2\times 2^{n}$Menge an klassischen Informationen. Sie erwähnen jedoch nirgendwo, wie sie klassische Daten (beispielsweise in Form eines Arrays) in diese Form konvertieren . Darüber hinaus scheint es eine Einschränkung zu geben, dass die Phase einer komplexen Zahl a i nur im Bereich von - π bis + π liegen kann .$2\times 2^{n}$$a_i$$-\pi$$+\pi$

Zweitens nehmen wir an, dass das anfängliche Datenarray, das wir in unserem Quantensystem speichern wollten, tatsächlich .$V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

Wenn sie definieren v ⟩ als | → v | - 1 / 2 → v dann | V ⟩ in unserem Beispiel würde in etwa so aussehen ( $|v\rangle$$|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$$|V\rangle$. Aber dann verlieren wir alle Informationen über die Phasen$(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ , nicht wahr? Was hat es also gebracht, mit einemkomplexenVektor (der sowohl eine Phase als auch eine Größe hat) zu beginnen, wenn wir diese Informationen bei der Konvertierung in | verlieren ? V ⟩ überhaupt? Oder sollen wir beim Schreiben | berücksichtigen ? V ⟩ als ( $\phi_i$$|V\rangle$$|V\rangle$? $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

Es wäre sehr hilfreich, wenn jemand anhand konkreter Beispiele zur Speicherung klassischer Daten in einem Qubit-System erklären könnte, wo ich falsch liege.$n$

I don't understand their notion of a $2^n$ dimensional complex vector. If each of the components of their classical data array has two floating point numbers, wouldn't encoding that into a $n$-qubit quantum state be equivalent to storing a $2\times 2^{n}$ size classical array in a $n$-qubit system?

You are absolutely correct that a $2\times 2^n$ classical array of nubers is stored in an n-qubit system.

But they are absolutely right that the vector's dimension is $2^n$. This is because the vector has $2^n$ rows, where each entry has 2 classical numbers.

Sie können denselben Vektor auch in einem Array speichern : 2 n Zeilen werden mit den Realteilen und 2 n Zeilen durch die Imaginärteile ausgefüllt , aber dieser Vektor würde sich nicht gemäß der Schrödinger-Gleichung entwickeln . $2\times 2^n$$2^n$$2^n$

Ich hoffe, dies hilft, diesen Teil der Frage zu lösen.

Sie erwähnen jedoch nirgendwo, wie sie klassische Daten (beispielsweise in Form eines Arrays) in diese Form konvertieren .$2\times 2^{n}$

Du hast recht. So wie Peter Shor nirgendwo erwähnt hat, wie seine Qubits für das Factoring vorbereitet werden.

Dies liegt bei den Experimentatoren und ist implementierungsabhängig . Dies bedeutet, dass Sie für NMR-Qubits die klassischen Daten in Qubits umwandeln würden, die sich von supraleitenden Qubits, Ionenfallen-Qubits oder Quantenpunkt-Qubits usw. unterscheiden. Daher beschuldige ich Shor oder einen der 6 Autoren der beiden Artikel nicht Sie haben erwähnt (die übrigens alle Theoretiker sind), weil Sie nicht erklärt haben, wie die Qubits vorbereitet werden.

let us assume that the initial data array we wanted to store in our quantum system was actually $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$. If they define $|v\rangle$ as $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ then $|V\rangle$ in our example would look something like $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$. But then we're losing all the information about the phases $\phi_i$, isn't it? So what was the use of starting with a complex vector (having both a phase and magnitude) in the first place, when we're losing that information when converting to $|V\rangle$ anyway?

You had it earlier in your question! "Consider the vector $N=2^{n}$ dimensional complex vector $\vec{v}$ with components $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$." Therefore the vector is:

Notice:
1) There's $2^n$ entries, not $2 \times 2^n$
2) There is NO norm around the phases, so this is why you have lost all information about the phases, because you put extra norm symbols where they shouldn't be :)

Or are we writing supposed to consider $|V\rangle$ as $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$?

Closer! The correct answer is the vector I wrote above, which can be written like this:

$|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$.

For your specific example:

The purpose of all of this is so that the sum of the squares of the coefficients is 1, which in my equation is true because the numberator is:

I hope that clears it up!