Diskontinuierliches Galerkin: Vor- und Nachteile von Nodal gegenüber Modal

Es gibt zwei allgemeine Ansätze zur Darstellung von Lösungen in der diskontinuierlichen Galerkin-Methode: nodal und modal.

1. Modal : Lösungen werden von Summen von modalen Koeffizienten repräsentiert durch eine Gruppe von Polynomen , multipliziert, beispielsweise , wo φ i ist gewöhnlich orthogonale Polynome, zB Legendre . Ein Vorteil davon ist, dass die orthogonalen Polynome eine diagonale Massenmatrix erzeugen.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodal : Die Zellen bestehen aus mehreren Knoten , auf dem die Lösung definiert ist. Rekonstruktion der Zelle dann auf Einpassen ein Interpolationspolynoms basiert, beispielsweise , wobei l i ein Polynom Lagrange ist. Ein Vorteil davon ist, dass Sie Ihre Knoten an Quadraturpunkten positionieren und Integrale schnell auswerten können.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

Was sind die komparativen Vor- und Nachteile jeder Methode im Kontext einer großen, komplexen ( - 10 9 DOFs) gemischten strukturierten / unstrukturierten 3D-Parallelanwendung mit den Zielen Flexibilität, Übersichtlichkeit der Implementierung und Effizienz ?$10^6$$10^9$

Ich bin mir sicher, dass es bereits gute Literatur gibt. Wenn mich also jemand auf etwas hinweisen könnte, das auch großartig wäre.

Die folgenden Kompromisse gelten gleichermaßen für DG und für Spektralelemente (oder finite Elemente der Version).$p$

$p$

$h$-elliptizität bei diskretisierten Bedienern (wodurch die Verwendung von kostengünstigeren Glättern / Vorkonditionierern ermöglicht wird). Es ist auch einfacher, Konzepte zu definieren, die von Lösern verwendet werden, wie z. B. Starrkörpermodi (verwenden Sie nur Knotenkoordinaten), und bestimmte Gitterübertragungsoperatoren zu definieren, wie sie in Mehrgittermethoden auftreten. Eingebettete Diskretisierungen stehen ebenfalls zur Vorkonditionierung zur Verfügung, ohne dass eine Änderung der Basis erforderlich ist. Knotendiskretisierungen können die kollokalisierte Quadratur effizient nutzen (wie bei Spektralelementmethoden), und die entsprechende Unterintegration kann zur Energieeinsparung beitragen. Die Kopplung zwischen Elementen für Gleichungen erster Ordnung ist für Knotenbasen spärlicher, obwohl ansonsten modifizierte Basen häufig so modifiziert werden, dass dieselbe Sparsamkeit erhalten wird.

Ich war gespannt auf einige Antworten auf diese Frage, aber irgendwie stört es niemanden zu antworten ...

In Bezug auf die Literatur gefallen mir das Buch Spectral / HP Element Methods for Computational Fluid Dynamics (es gibt jetzt auch eine billigere Softcover -Version) und das Buch von Hesthaven und Warburton sehr gut . Diese beiden gehen auf einige Details ein, die Ihnen bei der Implementierung der Methoden helfen. Das Buch von Canuto, Hussaini, Quarteroni und Zang ist eher theoretisch. Dieser hat auch einen zweiten Band "Spektralmethoden: Evolution zu komplexen Geometrien und Anwendungen zur Fluiddynamik".

Ich arbeite nicht an DG-Methoden und bin kein Experte, um die Vorteile von Knoten gegenüber Modal zu beurteilen. Das Buch von Karniadakis & Sherwin konzentriert sich mehr auf Methoden mit kontinuierlichen Modalerweiterungen . Bei dieser Art von Methode müssen Sie die Modi in zwei benachbarten Elementen so neu anordnen, dass die entsprechenden Modi auf der Schnittstelle übereinstimmen, um die Kontinuität der globalen Expansion zu erhalten. Darüber hinaus erfordert das Auferlegen von Randbedingungen zusätzliche Aufmerksamkeit, da Ihre Modi keinem bestimmten Ort an der Grenze zugeordnet sind.

Ich hoffe, dass jemand, der mit dieser Art von Methoden vertraut ist, mehr Details hinzufügt.