Radiale Integration der teuren Funktion mit Bessel-Gewichten

Ich muss das Integral

$$I = \int_0^R f(r)J_n\left(\frac{z_{nm}r}{R}\right)rdr$$

wobei die Bessel-Funktionen der ersten Art der Ordnung , ihre Null ist und eine reelle Funktion ist, die etwas ähnlich ist zu (aber nicht dasselbe, es ist ziemlich kompliziert und beinhaltet normalerweise Begriffe mit und manchmal ).n t h z n m m t h f ( r ) J n J 2 n exp ( J n$J_n$$n^{\mathrm{th}}$$z_{nm}$$m^{\mathrm{th}}$$f(r)$$J_n$$J_n^2$$\exp(J_n)$

Da extrem teuer ist und dieses Integral sehr oft ausgewertet werden muss, suche ich nach der besten (sehr schnellen, aber immer noch ziemlich genauen) numerischen Methode, um es zu lösen. Derzeit verwende ich die Trapezregel mit 11 Punkten. Aber ich untersuche andere Methoden wie Clenshaw-Curtis und Gauss-Kronrod (mit niedriger Ordnung).$f(r)$

Ich frage mich jedoch, ob es eine Methode gibt, die für solche Integrale besonders geeignet ist, insbesondere angesichts der Tatsache, dass sie denen ähnelt, die zur Berechnung von Hankel-Transformationen erforderlich sind.

Für die Hankel-Transformation kann man die Methoden in vier Hauptgruppen einteilen:

1. Numerische Quadratur basierend.
2. Fourier-basierte.
3. Asymptotische Expansion von Bessel in Sinus und Cosinus.
4. Projektions-Slice-Methoden.

Das folgende Papier gibt einen schönen Überblick über diese Methoden (Arten von Methoden):

• MJ Cree und PJ Bones, "Algorithmen zur numerischen Auswertung der Hankel-Transformation", Comp. Mathematik. Appl. vol. 26, nein. 1, S. 1–12, Juli 1993 .

Nach diesem Papier (S. 3, Abschnitt 4):

Der Hauptnachteil der Trapezregel ist ihre schlechte Recheneffizienz. ... erwies sich die Trapezmethode als fast immer so zuverlässig wie jede andere getestete Methode. ... fanden wir es als Benchmark nützlich, effizientere Algorithmen zu testen.

Es sind also zwei Richtungen möglich:

1. Finden Sie entweder eine effizientere numerische Quadraturregel.
2. Folgen Sie der Hankel-Transformationsrichtung.

Tatsächlich ist dieses Integral der Hankel-Transformation ter Ordnung sehr ähnlich . Ich sehe hier jedoch eine große Komplikation darin, dass nicht nur extrem teuer, sondern auch oszillierend und möglicherweise stark oszillierend ist . In der gegebenen Formulierung ist fast eine Blackbox mit einigen bekannten Eigenschaften, die tatsächlich schlecht sind. Viele der Standardtechniken zur Bewertung von Hankel-Transformationen verwenden die Tatsache, dass schließlich monoton ist .$n$$f(r)$f ( r ) f ( r )$f(r)$$f(r)$

Aus diesem Grund würde ich in die Richtung der Filon-Quadratur schauen, die für hochoszillatorische Integrale verwendet wird. Aber ich denke, Sie müssten etwas Wissen über das Verhalten von , damit es funktioniert. Dies betrifft die Richtung 1. Die folgende Referenz (sowie die für den nächsten Teil) ist für das allgemeine Verständnis hilfreich:$f(r)$

• R. Barakat und E. Parshall, "Numerische Bewertung der Hankel-Transformation nullter Ordnung unter Verwendung der Filon-Quadratur-Philosophie", Appl. Mathematik. Lette. vol. 9, nein. 5, S. 21–26, September 1996.

Für Richtung 2 würde ich empfehlen, eine Form von Projektionsschnittmethoden zu entwickeln . Mir persönlich ist keine fertige Methode dieser Art bekannt, die für Ihr Integral entwickelt wurde.

Die folgenden Referenzen könnten nützlich sein (auch für die Filon-Quadratur):

• J. Markham und J.-A. Conchello, "Numerische Bewertung von Hankel-Transformationen für oszillierende Funktionen", J. Opt. Soc. America A , vol. 20, nein. 4, S. 621–630, 2003. Hier diskutieren die Autoren 6 Methoden zur numerischen Berechnung der Hankel-Transformation oszillierender Funktionen Ordnung.$0$

Ein weiterer interessanter Ansatz, den es sich zu versuchen lohnt (ich bin auf dieses Papier gestoßen, war die Hauptmotivation, diese Antwort zu schreiben), ist die Anwendung der Mellin-Transformation. Es lohnt sich jedoch möglicherweise nicht, wenn zu viele Bewertungen von erforderlich sind :$f(r)$

• L. Knockaert, "Schnelle Hankel-Transformation durch schnelle Sinus- und Cosinus-Transformationen: die Mellin-Verbindung", IEEE Trans. Signal Processing , vol. 48, nein. 6, S. 1695–1701, Juni 2000.