Punktweise vs. kontinuierliche Beobachtungen bei inversem PDE-Problem

Ich arbeite an einem inversen Problem für meinen Ph.D. Forschung, die der Einfachheit halber in bestimmt$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

nach einigen Beobachtungen ; k 0 ist eine Konstante und f ist bekannt. Dies wird typischerweise als Optimierungsproblem für das Extremisieren formuliert$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

wobei ein Lagrange-Multiplikator ist. Die funktionelle Ableitung von J in Bezug auf β kann durch Lösen der nebenstehenden Gleichung berechnet werden$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Einige Regularisierungsfunktionen aus den üblichen Gründen zu dem Problem hinzugefügt.$R[\beta]$

Die unausgesprochene Annahme ist hier, dass die beobachteten Daten sub0; kontinuierlich in der gesamten Domäne Ω definiert sind . Ich denke, dass es für mein Problem angemessener sein könnte, es stattdessen zu verwenden$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

Dabei sind die Punkte, an denen die Messungen durchgeführt werden, und σ n ist die Standardabweichung der n- ten Messung. Die Maße dieses Feldes sind oft fleckig und es fehlen Stücke. warum interpolieren, um ein kontinuierliches Feld zweifelhafter Treue zu erhalten, wenn dies vermieden werden kann?$x_n$$\sigma_n$$n$

Dies gibt mir eine Pause, weil die zugehörige Gleichung wird

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

wobei die Dirac-Delta-Funktion ist. Ich löse dies mit finiten Elementen, daher läuft das Integrieren einer Formfunktion gegen eine Delta-Funktion im Prinzip darauf hinaus, die Formfunktion an diesem Punkt zu bewerten. Dennoch sollten die Regelmäßigkeitsprobleme wahrscheinlich nicht von der Hand gewiesen werden. Ich vermute, dass die objektive Funktion in Bezug auf die Finite-Elemente-Approximation für alle Felder und nicht in Bezug auf die realen Felder definiert und anschließend diskretisiert werden sollte.$\delta$

Ich kann keine Vergleiche zwischen der Annahme kontinuierlicher oder punktweiser Messungen in inversen Problemen in der Literatur finden, weder in Bezug auf das spezifische Problem, an dem ich arbeite, noch allgemein. Oft werden punktweise Messungen verwendet, ohne die beginnenden Regelmäßigkeitsprobleme zu erwähnen, zB hier . Gibt es eine veröffentlichte Arbeit, die die Annahmen kontinuierlicher und punktweiser Messungen vergleicht? Sollte ich mich um die Delta-Funktionen im punktuellen Fall kümmern?

Die Maße dieses Feldes sind oft fleckig und es fehlen Stücke. warum interpolieren, um ein kontinuierliches Feld zweifelhafter Treue zu erhalten, wenn dies vermieden werden kann?

Sie haben vollkommen recht - die meiste Zeit ist eine Interpolation auf ein kontinuierliches Feld, das die gesamte Domäne abdeckt, keine Option. Denken Sie an Probleme mit der Wettervorhersage, bei denen Messungen (Punktquellen) nur an ausgewählten Domänenstandorten verfügbar sind. Ich würde sagen, dass punktuelle Daten eher die Norm als die Ausnahme sind, wenn Sie "reale" inverse Probleme betrachten.

Ich vermute, dass die objektive Funktion in Bezug auf die Näherung der finiten Elemente an alle Felder ( diskretisieren-dann-optimieren ) und nicht in Bezug auf die realen Felder definiert und anschließend diskretisiert werden sollte ( optimieren-dann-diskretisieren ).

Die beiden Ansätze sind nicht gleichwertig (mit Ausnahme sehr einfacher Probleme). Es gibt eine Fülle von Literatur, die die beiden Ansätze (mit ihren Vor- und Nachteilen) vergleicht. Ich möchte Sie auf die Monographie von Max Gunzburger hinweisen (insbesondere auf das Ende von Kapitel 2).

Gibt es eine veröffentlichte Arbeit, die die Annahmen kontinuierlicher und punktweiser Messungen vergleicht? Sollte ich mich um die Delta-Funktionen im punktuellen Fall kümmern?

Sie können Ihre Quellterme genau darstellen, dh Ihr Quellterm wird als (diskrete Annäherung an eine) Dirac-Verteilung modelliert [ Arraya et al., 2006 ], oder Sie können den Quellterm durch eine regulierte Funktion approximieren (wie getan) B. in der Immersed Boundary-Methode ). Schauen Sie sich (für den Anfang) dieses kürzlich erschienenen Artikels von Hosseini et al. (und Referenzen darin).

Um die Antwort von @ GoHokies zu erweitern: Wenn Sie an Regelmäßigkeitsfragen interessiert sind, können Sie auch fragen, was "Punktmessungen" wirklich sind. In der körperlichen Praxis kann man an einem "Punkt" nichts messen. Vielmehr werden Sie immer einen Durchschnitt über einen Raum-Zeit-Abschnitt erhalten: Ein Thermometer ist kein Punkt, sondern ein erweitertes Objekt, und es braucht Zeit, um sich an die Temperatur des umgebenden Mediums anzupassen. Ein Konzentrationsmessgerät benötigt eine endliche Probengröße. etc.

Was dies mathematisch bedeutet, ist, dass die Delta-Funktionen in Ihrem funktionalen über ausreichend kleine Bereiche und / oder Zeitintervalle gemittelt werden. Folglich sind auch die rechten Seiten in der Doppelgleichung endlich, und es treten keine Regelmäßigkeitsprobleme auf.

In der Praxis sind Sie in der Regel natürlich nicht in der Lage, die kleinen Raum- oder Zeitintervalle, an denen Sie messen, mit einem Finite-Elemente-Netz aufzulösen. Das heißt, auf Längenskalen können Sie die rechte Seite lösen tut Blick Singular, und folglich nimmt auch die Lösung. Da Sie jedoch bereits einen Diskretisierungsfehler einführen, können Sie die charakteristische Funktion des Volumens, über das Sie messen, auch durch eine diskrete Näherung mit demselben Gewicht regulieren. Wenn Sie es richtig machen, führen Sie einen Fehler ein, der nicht größer als der Diskretisierungsfehler ist, und Sie erhalten eine perfekte Funktion auf der rechten Seite für die (diskrete) Doppelgleichung.