Den Fixpunkt eines Operators finden

Welche numerischen Methoden stehen zur Verfügung, um den Fixpunkt eines Operators , der auf die Funktionen einwirkt ? Ich suche die Funktion für die .f : [ a , b ] → [ a , b ] f A f = $A$$f : [a,b] \rightarrow [a,b]$$f$$Af = f$

Wesentliche Details:

Meine Funktion ist tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Verteilung auf dem Kreis (dh auf dem periodischen internen [ 0 , 2 π ) ). Dies bedeutet auch, dass 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 für jedes x ∈ [ 0 , 2 π ) ist , was das Problem einfacher macht. Nehmen wir an, wir haben diese Funktion mit einer gewissen Dichte abgetastet und können den Operator A numerisch berechnen . Die Verteilung ist nicht unbedingt kontinuierlich, dh es könnte folgendermaßen aussehen:$f$$[0,2\pi)$$0 \le f(x) \le 1$$x \in [0,2\pi)$$A$

Ich suche nach Methoden und Vorschlägen, wie das geht. Ich werde versuchen, dies zuerst in Mathematica zu implementieren.

Alle unordentlichen Details meines praktischen Problems:

So berechne ich den Operator : $A$

1. Ich nehme die Verteilung, die ich als eine große Anzahl von Proben daraus gezogen habe
2. Ich schätze das PDF und falte es mit einem "quadratischen" Kernel ("quadratisch" bedeutet, dass es der obigen Abbildung ähnlich ist). Dies gibt mir eine ziemlich reibungslose Funktion.
3. Ich schwelle die Funktion, um eine andere binärwertige Funktion .$g:[a,b] \rightarrow {0,1}$
4. Aus dieser binärwertigen Funktion berechne ich erneut eine große Anzahl von Stichproben aus der Verteilung

Ich habe dies erwähnt, weil dies bedeutet, dass wir anstelle von PFDs auch mit der Glättungsfunktion (nach der Faltung) oder der Binärwertfunktion arbeiten könnten. Eigentlich habe ich in der Praxis mit der Binärwertfunktion gearbeitet.

Ich weiß, dass Fixpunkte einfacher reeller Funktionen (keine Operatoren) "anziehen" oder "abstoßen" können, dh wenn die Funktion wiederholt auf eine Zahl angewendet wird, konvergiert sie entweder gegen einen festen Punkt oder wird von dieser abgestoßen. Ich weiß nicht, welcher Typ der Festpunkt meines Operators ist.

Ich weiß, dass mein Operator immer die gleichmäßige Verteilung als festen Punkt hat, aber manchmal (abhängig von meinen Parametern) kann es einen anderen geben. Es ist dieses andere, das ich finden muss.

Ich habe versucht, den Operator wiederholt anzuwenden, um zu sehen, was passiert, und manchmal konvergiert er zum gewünschten Fixpunkt. Aber selbst wenn es nicht konvergiert, kann ein Fixpunkt noch vorhanden sein (oder es kann nur zu diesem Fixpunkt konvergieren, wenn ich eine andere Anfangsbedingung verwende). Ich brauche also eine robustere Methode.

Noch chaotischere Details:

$[0,2\pi)$$[0,a)$$a$$a$$a$

Warum habe ich dieses komplexe (scheinbar zu lokalisierte) Detail erwähnt, das für die Frage nicht wesentlich ist? Wenn Sie lesen, dass sich die Verteilung in einem periodischen Intervall befindet, werden Sie feststellen, dass jede Drehung dieser Verteilung im Intervall auch ein fester Punkt ist, wenn eine Verteilung ein fester Punkt ist. Dies kann Sie zum Nachdenken bringen, wenn numerische Fehler bei der Berechnung der Anwendung des Operators auf den Fixpunkt dazu führen, dass sich der Fixpunkt leicht "dreht". Ich kann das kompensieren, das ist also kein Problem.

$f$$f$

$u(r)$$g(r)$$f$${\mathcal A}f = f$$u^{(k)}(r)$$u^{(k+1)}(r)$