Nicht-monotone Konvergenz bei Festkommaproblemen

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Hintergrund

Ich löse eine Variante der Ornstein-Zernike- Gleichung aus der Flüssigkeitstheorie. Abstrakt kann das Problem als Lösung des Fixpunktproblems , wobei A ein integro-algebraischer Operator ist und c ( r ) die Lösungsfunktion ist (die OZ-Direktkorrelationsfunktion). Ich löse durch Picard-Iteration, wobei ich eine anfängliche Versuchslösung c 0 ( r ) bereitstelle und neue Versuchslösungen nach dem Schema c j + 1 = α (EINc(r)=c(r)EINc(r)c0(r) wobei α einen einstellbaren Parameter steuertdass die Mischung aus c und A c in der nächsten Probelösung verwendet. Nehmen wir für diese Diskussion an, dass der Wert von α unwichtig ist. I wiederholenbis die Iteration konvergiertum innerhalb einer gewünschten Toleranz ε : Δ j + 1 d r | c j + 1 ( r ) - c

cj+1=α(EINcj)+(1-α)cj ,
αcEINcαϵ In meiner Variante des Problemshängt A von einem Parameter λ ab , und meine Frage ist, wie die Konvergenz von A c = c von diesem Parameter abhängt.
Δj+1dr|cj+1(r)-cj(r)|<ϵ .
EINλEINc=c

Für einen weiten Bereich von Werten für konvergiert das obige Iterationsschema exponentiell schnell. Wenn ich jedoch λ verkleinere , erreiche ich schließlich ein Regime, in dem die Konvergenz nicht monoton ist (siehe Abbildung unten). λλBeginn der nicht-monotonen Konvergenz

Schlüsselfrage

Hat die nicht-monotone Konvergenz bei iterativen Lösungen von Fixpunktproblemen eine besondere Bedeutung? Bedeutet das, dass mein iteratives Schema kurz vor der Instabilität steht? Sollte mich vor allem die nicht-monotone Konvergenz verdächtigen, dass die "konvergierte" Lösung keine gute Lösung für das Fixpunktproblem ist?

Endulum
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Antworten:

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xx=f(x)xfx(x)αα<1x

  1. λ

  2. Wenn Ihre Lösung innerhalb einer ordnungsgemäß festgelegten relativen Toleranz konvergiert ist, die auch kleine Zahlen berücksichtigt, ist dies der Fall.

NameRakes
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Können Sie Ihren zweiten Punkt klarstellen?
Endulum
|xj+1-xj||xj|ϵϵ