Nicht-monotone Konvergenz bei Festkommaproblemen

Hintergrund

Ich löse eine Variante der Ornstein-Zernike- Gleichung aus der Flüssigkeitstheorie. Abstrakt kann das Problem als Lösung des Fixpunktproblems , wobei A ein integro-algebraischer Operator ist und c ( r ) die Lösungsfunktion ist (die OZ-Direktkorrelationsfunktion). Ich löse durch Picard-Iteration, wobei ich eine anfängliche Versuchslösung c 0 ( r ) bereitstelle und neue Versuchslösungen nach dem Schema c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ wobei α einen einstellbaren Parameter steuertdass die Mischung aus c und A c in der nächsten Probelösung verwendet. Nehmen wir für diese Diskussion an, dass der Wert von α unwichtig ist. I wiederholenbis die Iteration konvergiertum innerhalb einer gewünschten Toleranz ε : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ In meiner Variante des Problemshängt A von einem Parameter λ ab , und meine Frage ist, wie die Konvergenz von A c = c von diesem Parameter abhängt. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Für einen weiten Bereich von Werten für konvergiert das obige Iterationsschema exponentiell schnell. Wenn ich jedoch λ verkleinere , erreiche ich schließlich ein Regime, in dem die Konvergenz nicht monoton ist (siehe Abbildung unten). $\lambda$$\lambda$

Schlüsselfrage

Hat die nicht-monotone Konvergenz bei iterativen Lösungen von Fixpunktproblemen eine besondere Bedeutung? Bedeutet das, dass mein iteratives Schema kurz vor der Instabilität steht? Sollte mich vor allem die nicht-monotone Konvergenz verdächtigen, dass die "konvergierte" Lösung keine gute Lösung für das Fixpunktproblem ist?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Wenn Ihre Lösung innerhalb einer ordnungsgemäß festgelegten relativen Toleranz konvergiert ist, die auch kleine Zahlen berücksichtigt, ist dies der Fall.