Welche Norm soll wann gewählt werden?

Kürzlich habe ich diese Frage gesehen: Wie misst man den Fehler einer Finite-Differenzen-Methode?

Ich bin Student der Simulationswissenschaften und leider ist für mich völlig unklar, welche Norm in welchem ​​Kontext zu verwenden ist.

Sehr oft verwenden wir die euklidische Norm oder die L2-Norm, aber warum wählt man verschiedene Normen, welche Bedeutung haben sie neben der numerischen / mathematischen Definition? Oder genauer: Was ist der Grund, eine bestimmte Norm in einem bestimmten Kontext zu verwenden?

Für die Messung des Fehlers in der Lösung von PDE ist es ganz natürlich, die Norm des Raums zu wählen, in dem die Lösung liegt. Beispielsweise liegt die Lösung für elliptische PDEs in und daher ist es natürlich, die H 1 -Norm zu wählen , um den Fehler zu messen. Dies ist sinnvoll, weil die Lösung beispielsweise nicht im Raum W 1 , ∞ liegt und es daher nicht sinnvoll ist, den maximalen Fehler im Gradienten zu berechnen, nur weil Sie diesen Fehler nicht messen können, wenn selbst die genaue Lösung vorliegt Punkte, an denen der Gradient nicht endlich ist. Mit anderen Worten, es ist nicht sinnvoll, den Fehler in der Norm eines Raums X zu messen (z.$H^1$$H^1$$W^{1,\infty}$$X$ ), wenn die genaue Lösung in Y (z. B. Y = H 1 ) und X ⊂ Y liegt .$X=W^{1,\infty}$$Y$$Y=H^1$$X\subset Y$

Andererseits messen wir häufig den Fehler in der Norm eines Raumes wenn Z ⊃ Y ist , z. B. wenn wir den Fehler in L 2 messen . Für diese anderen Normen ist es manchmal wegen der physischen Bedeutung, aber ebenso oft nur eine Frage der Bequemlichkeit. Die L 2 -Norm hat manchmal eine physikalische Bedeutung: zum Beispiel das Integral des Quadrats des elektrischen Feldes ∫ E ( x ) $Z$$Z\supset Y$$L_2$$L_2$ , dh das Quadrat der L 2 -Norm, ist die im elektrischen Feld gespeicherte Energie; Ebenso ist das Quadrat der Norm der Lösung der Wellengleichung die in der Lösung gespeicherte potentielle Energie. Zu anderen Zeiten ist es nur eine bequem gewählte Norm. Zum Beispiel ist die Messung der L 2 -Norm des Fehlers in der zeitabhängigen Wärmegleichung fast immer die falsche Wahl, da die physikalisch relevanten Größen (die gesamte Wärmeenergie, die Materialmenge) in Wirklichkeit die L 1 -Norm der Lösung sind; In diesem Fall hat die Messung des Fehlers in der L 2 -Norm keine andere Bedeutung als zweckmäßig.$\int E(x)^2 \; dx$$L_2$$L_2$$L_1$$L_2$

Die euklidische Norm wird häufig unter der Annahme verwendet, dass der euklidische Abstand zweier Punkte ein vernünftiges Maß für den Abstand ist. Wenn dies nicht der Fall ist, ist diese Wahl einer problemangepassten Wahl nicht vorzuziehen. Wenn beispielsweise die typische Größe der Komponenten eines Vektors sehr unterschiedlich ist (da sie sehr unterschiedliche Bedeutungen haben), ist die euklidische Norm sehr schlecht, da sie die Auswirkungen von Änderungen der kleinen Komponenten kaum berücksichtigt. In einem solchen Fall muss man entweder zuerst die Vektoren skalieren, um Komponenten ähnlicher Größe zu haben, bevor man Normen anwendet, oder man muss eine Norm verwenden, die verschiedene Komponenten unterschiedlich skaliert.

$\|x\|$$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

Daher muss man eine aussagekräftige Norm wählen, um aussagekräftige Ergebnisse zu erzielen.

In unendlich dimensionalen Räumen (zu denen insbesondere die gemeinsamen Funktionsräume gehören) sind Normen nicht mehr gleichwertig, und unterschiedliche Normen können zu unterschiedlichen Topologien führen. Jetzt muss man eine geeignete Norm wählen, um endliche Ergebnisse zu erhalten, und begrenzende Begriffe können ohne eine gute Wahl der Norm unmöglich sein.

Als Übung möchte ich vorschlagen, dass Sie die Werte der Norm für für eine Vielzahl von Vektoren in , die durch parametrisiert sind , und dasselbe in verschiedenen Räumen von tun Sequenzen . Sie werden dann die Unterschiede zu schätzen wissen. Ein gutes Beispiel ist der Vektor mit dem Eintrag , wobei . Hier für winziges und großes (ungefähr die Summe durch ein Integral) , das unendlich wird groß wie wennp = 1 , 2 , ∞ R n n x = ( x 1 , x 2 , ... ) i x i = ε / i s s > 0 ε n ‖ x ‖ p ≈ ε 1 - 1 / n p s - $p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$ n→∞p≤1/sp>1/$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$bleibt aber winzig, wenn .$p>1/s$

Einige Anmerkungen:

Welche Norm Sie wählen, hängt im Allgemeinen davon ab, was Sie messen möchten. So einfach ist das.

Für numerische pde hat die -Norm die bequeme Eigenschaft, eine Hilbert-Raumstruktur bereitzustellen . Ein natürlicher Grund für die Verwendung dieser Norm ist die Behandlung von Messfehlern, wie unter https://scicomp.stackexchange.com/a/2763/238 beschrieben . Ich weiß nicht, ob es andere Gründe gibt, die außerhalb der mathematischen Machbarkeit liegen.$L^2$

Die Norm wird verwendet, wenn Sie eine maximale Grenze für den Fehler "pointwise" festlegen möchten. Es ist natürlich, den dualen Raum von durch Funktionen mit endlicher -Norm darzustellen.L ∞ L $L^\infty$$L^\infty$$L^1$

Andere Normale werden in nichtlinearen PDE verwendet, und Sobolev-Normen sind die einfache Verallgemeinerung von Räumen, wenn Sie eine Funktion und ihre verallgemeinerten Ableitungen steuern möchten.L $L^p$$L^p$