Der Grund, warum die Leute meiner Meinung nach die erste Schätzung bevorzugen, ist, dass die erste natürlich aus der Galerkin-Orthogonalität der FEM, der Interpolationsnäherungseigenschaft und vor allem der Koerzitivkraft der bilinearen Form (für das Randwertproblem der Poisson-Gleichung) resultiert entspricht es der Poincaré / Friedrichs-Ungleichung für Funktionen):
H10
∥u−uh∥2H1(Ω)∥∇(u−uh)∥2L2(Ω)⇒∥∇(u−uh)∥L2(Ω)≤c1∥∇(u−uh)∥2L2(Ω)=∫Ω∇(u−uh)⋅∇(u−uh)=∫Ω∇(u−uh)⋅∇(u−Iu)≤∥∇(u−uh)∥L2(Ω)∥∇(u−Iu)∥L2(Ω)≤∥∇(u−Iu)∥L2(Ω)≤c2h∥u∥H2(Ω)
wobei von der Konstante in der Poincaré / Friedrichs-Ungleichung für Funktionen , ist die Interpolation von im Endlichen Elementraum und
c1H10Iuuc2 hängt von den minimalen Winkeln des Netzes ab.
Während die elliptische Regelmäßigkeitsschätzung ausschließlich auf der PDE-Ebene liegt, hat dies nichts damit zu tun Die Annäherung plus das obige Argument gilt auch dann, wenn eine Verteilung ist.∥u∥H2(Ω)≤c∥f∥L2(Ω)f∈H−1
Kommen wir nun zu dem Grund, warum a posteriori Fehlerschätzungen weit verbreitet sind, hauptsächlich weil:
Es ist berechenbar, es gibt keine generische Konstante im Ausdruck der Schätzungen.
Der Schätzer hat seine lokale Form, die der lokale Fehlerindikator sein kann, der im adaptiven Netzverfeinerungsverfahren verwendet wird. Daher könnte das Problem mit Singularitäten oder wirklich "schlechten" Geometrien gelöst werden.
Beide von Ihnen aufgelisteten Schätzungen vom Typ a priori sind gültig. Sie liefern uns die Informationen über die Konvergenzordnungen. Keiner von ihnen kann jedoch ein lokaler Fehlerindikator nur für ein Dreieck / Tetraeder sein, da keiner von ihnen aufgrund der Konstante berechenbar ist , noch sind sie lokal definiert.
BEARBEITEN: Für einen allgemeineren Überblick über die FEM für elliptische PDEs empfehle ich dringend, Kapitel 0 in Brenners und Scotts Buch: Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden zu lesen , das nur 20 Seiten umfasst und kurz fast alle Aspekte der Finite-Elemente-Methoden abdeckt Von der Galerkin-Formulierung aus der PDE bis zur Motivation, warum wir adaptive FEM verwenden möchten, um ein Problem anzugehen. Hoffe das würde dir mehr helfen.