Finite Elemente

$W^{1,\infty}$$\|u'_h - u'\|_\infty$

( Crossposted von MathOverflow, wo es wenig Interesse fand, aber wahrscheinlich kann ich hier mehr Leute mit einem FEM-Hintergrund finden.)

Kapitel 8 der mathematischen Theorie der Finite-Elemente-Methoden von Brenner und Scott ist diesem Thema gewidmet. Insbesondere Satz 8.1.11 und die Folgerung geben Ihnen dies

$\|u - u_h\|_{W^1_\infty} \le C h^{k - 1}\|u\|_{W^k_\infty}$

für lineare elliptische Probleme mit ausreichend glatten Koeffizienten, vorausgesetzt, der Finite-Elemente-Raum erfüllt einige andere Ungleichungen. Sie lassen es als Übung (wie typisch), um zu überprüfen, ob dies für die üblichen Lagrange-, Hermite- und Argyris-Elemente gilt.

Wenn Sie über die Standard-Laplace-Gleichung hinausgehen möchten, hat Alan Demlow (an der Texas A & M University) Schätzungen abgeleitet.