Was ist die allgemeine Idee von Nitsches Methode in der numerischen Analyse?

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Ich weiß, dass die Nitsche-Methode eine sehr attraktive Methode ist, da sie es ermöglicht, ohne Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren Randbedingungen vom Dirichlet-Typ oder den Kontakt mit Reibungsrandbedingungen auf schwache Weise zu berücksichtigen. Und sein Vorteil, eine Dirichlet-Randbedingung ähnlich wie eine Neumann-Randbedingung in schwache Ausdrücke umzuwandeln, wird durch die Tatsache bezahlt, dass die Implementierung modellabhängig ist.

Es scheint mir jedoch zu allgemein zu sein. Können Sie mir eine genauere Vorstellung von dieser Methode geben? Ein einfaches Beispiel wäre wünschenswert.

Anh-Thi DINH
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Ich glaube, ich verstehe Ihre Frage nicht ganz. Sie identifizieren korrekt, warum die Methode erfunden wurde (um Dirichlet-Bedingungen in der schwachen Form zu behandeln). Was meinen Sie mit "Es scheint mir jedoch zu allgemein. Können Sie mir eine genauere Vorstellung von dieser Methode geben? Ein einfaches Beispiel ist kostspielig."
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth: Ich brauche ein (einfaches) Beispiel für diese Idee. Es ist so abstrakt für mich.
Anh-Thi DINH
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@Oliver: Ich nehme an, du meinst "teuer" wie "lieb", "wertvoll", das heißt "geschätzt"? Ich habe mir erlaubt, das Wort zu ändern. Wenn Sie anderer Meinung sind, können Sie die Bearbeitung jederzeit rückgängig machen.
Christian Clason

Antworten:

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Nitsches Methode ist mit diskontinuierlichen Galerkin-Methoden verwandt (Wolfgang weist darauf hin, dass sie Vorläufer dieser Methoden ist) und kann auf ähnliche Weise abgeleitet werden. Betrachten wir das einfachste Problem, die Poissonsche Gleichung:

(1){Δu=fon Ω,u=gon Ω.
Wir suchen jetzt eine Variationsformulierung, die
  1. ist zufrieden mit der (schwachen) Lösung (dh konsistent),uH1(Ω)
  2. ist symmetrisch in und v ,uv
  3. gibt eine einzigartige Lösung zu (was bedeutet, dass die bilineare Form zwangsweise ist).

Wir beginnen wie üblich mit der starken Form der Differentialgleichung, multiplizieren mit einer Testfunktion und integrieren nach Teilen. Ausgehend von der rechten Seite erhalten wir ( f , v ) = ( -vH1(Ω) in die in der letzten Gleichung haben wir das produktive Null hinzugefügt0=u-gan der Grenze. Die Umordnung der Terme in lineare und bilineare Formen ergibt nun eine Variationsgleichung für eine symmetrische bilineare Form, die für die LösunguH1(Ω)von(1)erfüllt ist.

(f,v)=(Δu,v)=(u,v)Ωνuvds=(u,v)ΩνuvdsΩ(ug)νvds
0=uguH1(Ω)(1)

Die bilineare Form ist jedoch nicht zwingend, da Sie sie nicht von unten für durch c v 2 H 1 binden können (da wir keine Randbedingungen für willkürliches v H 1 ( Ω ) haben , können wir nicht verwenden Poincarés Ungleichung wie üblich - das heißt, wir können den L 2 -Teil der Norm beliebig groß machen, ohne die bilineare Form zu ändern). Wir müssen also einen weiteren (symmetrischen) Term hinzufügen, der für die wahre Lösung verschwindet: η Ω ( uu=vcvH12vH1(Ω)L2 für einige η > 0 groß genug. Dies führt zu der (symmetrischem, konsistentem, Zwang) schwachen Formulierung: Finden u H 1 ( Ω ) derartdass ( u , v ) - Ω& ngr; u vηΩ(ug)vdsη>0uH1(Ω)

(u,v)ΩνuvdsΩuνvds+ηΩuvds=Ωgνvds+ηΩgvds+Ωfvdxfor all vH1(Ω).

u,vH1(Ω)uh,vhVhH1(Ω)ηch1c>0

(Dies ist nicht Nitsches ursprüngliche Herleitung, die vor den diskontinuierlichen Galerkin-Methoden liegt und von einem äquivalenten Minimierungsproblem ausgeht. Tatsächlich erwähnt seine ursprüngliche Abhandlung die entsprechende bilineare Form überhaupt nicht, aber Sie finden sie beispielsweise in Freund und Stenberg.) Zu schwach auferlegten Randbedingungen für Probleme zweiter Ordnung , Proceedings of the Ninth Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Venedig 1995. M. Morandi Cecchi et al., Hrsg., S. 327-336 .)

Christian Clason
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Ihr erster Satz ist nicht falsch, aber historisch ungenau: Nitsches Idee stand an erster Stelle und inspirierte die Entwicklung diskontinuierlicher Galerkin-Methoden. Dies ändert jedoch nichts an der ansonsten hervorragenden Antwort.
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth Du hast natürlich recht; Es wurde keine Kausalität impliziert, nur Korrelation. Es ist jedoch wichtig, die richtigen Zuschreibungen vorzunehmen, insbesondere für Menschen, die ansonsten unterversorgt sind. Ich werde bearbeiten, um das klar zu machen.
Christian Clason
Fragen: 1. Könnten Sie das Problem der Koerzitivfeldstärke näher erläutern, bevor Sie den zusätzlichen Grenzterm hinzufügen? 2. Was bedeutet hier "nicht konform"? 3. Ich dachte, ich hätte gelesen, dass Stabilität ein automatisches Ergebnis der Koerzitivkraft der bilinearen Form ist. Obwohl diese Erklärung recht gut ist (die einzige Erklärung, die ich tatsächlich finden konnte), kann jemand zu Vergleichszwecken auf eine andere allgemeine Erklärung der Methode (und / oder ihrer Herleitung) verweisen? Selbst wenn ich das Originalpapier finden könnte, wäre es nicht unbedingt hilfreich. Der Artikel von Freund und Stenberg gibt nur eine kurze Zusammenfassung und ein paar Details
Nächte
VhHg1(Ω)
@Nights Ich habe die Antwort bearbeitet, um Ihre Punkte anzusprechen (außer natürlich in Ihrem zweiten Absatz).
Christian Clason