Was sind die konzeptionellen Unterschiede zwischen der Finite-Elemente- und der Finite-Volumen-Methode?

Es gibt einen offensichtlichen Unterschied zwischen der Methode der endlichen Differenz und der Methode des endlichen Volumens (Übergang von der Punktdefinition der Gleichungen zu ganzzahligen Durchschnitten über Zellen). Aber ich finde FEM und FVM sehr ähnlich; Sie verwenden beide integrale Form und Mittelwert über Zellen.

Was macht die FEM-Methode, die die FVM nicht macht? Ich habe einen kleinen Hintergrund über die FEM gelesen. Ich verstehe, dass die Gleichungen in der schwachen Form geschrieben sind. Dies gibt der Methode einen etwas anderen Status als der FVM. Auf konzeptioneller Ebene verstehe ich die Unterschiede jedoch nicht. Nimmt FEM an, wie sich das Unbekannte in der Zelle verändert, kann dies nicht auch mit FVM geschehen?

Ich komme hauptsächlich aus der 1D-Perspektive, also hat FEM vielleicht Vorteile mit mehr als einer Dimension?

Ich habe nicht viele Informationen zu diesem Thema im Internet gefunden. Wikipedia hat einen Abschnitt über , wie die FEM unterscheidet sich von Finite - Differenzen - Methode, aber das ist es, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Finite Elemente: Volumenintegrale, innere Polynomordnung

Klassische Finite-Elemente-Methoden nehmen stetige oder schwach stetige Approximationsräume an und fordern die Erfüllung volumetrischer Integrale der schwachen Form. Die Genauigkeitsreihenfolge wird erhöht, indem die Approximationsreihenfolge innerhalb der Elemente erhöht wird. Die Methoden sind nicht gerade konservativ und kämpfen daher häufig mit Stabilität für diskontinuierliche Prozesse.

Endliches Volumen: Oberflächenintegrale, Flüsse aus diskontinuierlichen Daten, Rekonstruktionsreihenfolge

Finite-Volumen-Methoden verwenden stückweise konstante Approximationsräume und verlangen, dass Integrale gegen stückweise konstante Testfunktionen erfüllt werden. Dies ergibt genaue Erhaltungsaussagen. Das Volumenintegral wird in ein Oberflächenintegral umgewandelt und die gesamte Physik in Form von Flüssen in diesen Oberflächenintegralen angegeben. Für hyperbolische Probleme erster Ordnung ist dies eine Riemann-Lösung. Elliptische Flüsse zweiter Ordnung sind subtiler. Die Genauigkeitsordnung wird erhöht, indem Nachbarn verwendet werden, um (konservativ) Repräsentationen des Zustands innerhalb von Elementen höherer Ordnung zu rekonstruieren (Neigungsrekonstruktion / -begrenzung) oder indem Flüsse rekonstruiert werden (Flussbegrenzung). Der Rekonstruktionsprozess ist normalerweise nichtlinear, um Schwingungen um diskontinuierliche Merkmale der Lösung zu steuern. Siehe Total Variation Reduining (TVD) und im Wesentlichen nicht oszillierende (ENO / WENO) Methoden. Eine nichtlineare Diskretisierung ist erforderlich, um gleichzeitig sowohl eine Genauigkeit in glatten Regionen als auch eine begrenzte Gesamtvariation über Diskontinuitäten hinweg zu erhalten, sieheDer Satz von Godunov .

Bemerkungen

Sowohl FE als auch FV lassen sich auf unstrukturierten Gittern leicht mit einer Genauigkeit von bis zu zweiter Ordnung definieren. FE ist bei unstrukturierten Gittern einfacher als bei Gittern zweiter Ordnung. FV verarbeitet nicht konforme Netze einfacher und robuster.

Kombination von FE und FV

Die Methoden können auf verschiedene Arten verheiratet werden. Diskontinuierliche Galerkin-Methoden sind Finite-Elemente-Methoden, die diskontinuierliche Basisfunktionen verwenden, wodurch Riemann-Löser und eine höhere Robustheit für diskontinuierliche Prozesse (insbesondere hyperbolische) erhalten werden. DG-Verfahren können mit nichtlinearen Begrenzern verwendet werden (in der Regel mit einer gewissen Verringerung der Genauigkeit), erfüllen jedoch eine zellweise Entropieungleichung ohne Einschränkung und können daher ohne Einschränkung für einige Probleme verwendet werden, bei denen andere Schemata Begrenzer erfordern. (Dies ist besonders nützlich für die adjunktionsbasierte Optimierung, da dadurch der diskrete adjunktionsbasierte Algorithmus repräsentativer für die stetigen adjunktionsbasierten Gleichungen wird.) Gemischte FE-Methoden für elliptische Probleme verwenden diskontinuierliche Basisfunktionen und können nach einigen Quadraturwahlen als standardmäßige endliche Volumenmethoden neu interpretiert werden finden Sie in dieser Antwort$P_N P_M$

Die konzeptuellen Unterschiede von FEM und FVM sind so subtil wie die Unterschiede zwischen einem Baum und einer Kiefer.

Wenn Sie ein bestimmtes FEM-Schema mit der FVM-Diskretisierung vergleichen, die auf ein bestimmtes Problem angewendet wird, können Sie von grundlegenden Unterschieden sprechen, die sich in unterschiedlichen Implementierungsansätzen und unterschiedlichen Approximationseigenschaften bemerkbar machen (wie @Jed Brown in seiner Antwort dargelegt hat).

Aber im Allgemeinen würde ich sagen, dass FVM ein Spezialfall von FEM ist, bei dem ein Gitter von Zellen und stückweise konstante Testfunktionen verwendet werden. Diese Beziehung wird auch für die Konvergenzanalyse von FVM verwendet, wie sie in dem Buch von Grossmann, Roos & Stynes: Numerical Treatment of Partial Differential Equations zu finden ist .

Der grundlegende Unterschied ist einfach die Bedeutung, die den Ergebnissen zuzuordnen ist. FDM sagt Punktwerte für jeden Aspekt der Lösung voraus. Die Interpolation zwischen diesen Werten wird oft der Vorstellungskraft des Benutzers überlassen. FVM prognostiziert Durchschnittswerte konservierter Variablen innerhalb bestimmter Kontrollvolumina. Daher werden die integrierten konservierten Variablen vorhergesagt und es kann gezeigt werden, dass sie zu schwachen (diskontinuierlichen) Lösungen konvergieren. FEM gibt eine Reihe von diskreten Werten an, aus denen durch Aufrufen einer Reihe von Basisfunktionen überall eindeutig eine ungefähre Lösung abgeleitet werden kann. Normalerweise, aber nicht notwendigerweise, sind die beteiligten Variablen konservativ. Es ist möglich, Finite-Differenzen-Methoden zu verwenden, die nach einer bestimmten Quadraturregel in gewissem Sinne konservativ sind.

Dies sind Fragen der Definition. Es gibt viele Variationen aller drei Methoden. Nicht jede Methode ist sauber von einem Typ, und die Details variieren zwischen den Anwendungsbereichen. Forscher, die eine neue Methode erfinden, verwenden diese Tools, um die Eigenschaften bereitzustellen, nach denen sie suchen. Es ist, wie Sie anscheinend festgestellt haben, schwierig, eine maßgebliche Diskussion zu finden, und es wäre schwierig für mich, eine zu liefern. Der beste Rat, den ich geben kann, ist, weiterzulesen, ohne eine klare Antwort zu erwarten, aber den Dingen Glauben zu schenken, die für Sie Sinn machen.