Begrenzung des relativen Ableitungsfehlers bei gegebenem relativen Fehler der Funktion

Angenommen, eine Funktion kann so berechnet werden, dass die Grenze für den relativen Fehler dh f ^ - (x) = f (x) (1 + r), wobei f ^ - und f jeweils der berechnete und exakte Wert f und | sind r | \ leq R.$f$$R$f - f f | r | ≤ $f^-(x) = f(x)(1+r)$$f^-$$f$$f$$|r| \leq R$

Ich möchte den relativen Fehler der folgenden abgeleiteten Näherungen in Bezug auf $h$ und $R$ für ein allgemeines f begrenzen$f$

$$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$$

In Ralston und Rabinowitz werden die Grenzen als $\frac{R}{h}$ bzw. $\frac{4R}{h^2}$ angegeben. Dies wurde jedoch nicht bewiesen und im Vorbeigehen als Teil einer Erklärung zur Richardson-Extrapolation erwähnt.

Irgendwelche Ideen zu seinem Beweis?

Dieser Satz wurde entweder vom Autor der Frage falsch interpretiert oder es liegt ein Fehler in dem Buch vor, auf das verwiesen wird. Betrachten Sie das folgende Zählerbeispiel:

$$f(x) = 100+x$$ $$h=0.01$$ $$R = 0.01$$

Bei beträgt der absolute Fehler in jeder Funktionsbewertung , also haben wir Im schlimmsten Fall haben die beiden Fehlerterme das gleiche Vorzeichen und werden nicht aufgehoben. Der relative Fehler der abgeleiteten Näherung kann daher bis zu , was viel größer als .$x=0$$100*0.01=1$

$$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$$ $$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$$ $100$$R/h = 1$

Soweit ich das beurteilen kann, gibt es keine Grenze für den relativen Fehler für ein allgemeines da durch Auswahl einer Funktion der Form der relative Fehler in der abgeleiteten Näherung immer einfach durch Erhöhen von erhöht werden kann .$f$$f(x) = n+x$$n$

Andererseits können wir eine von abhängige Grenze berechnen . Die Grenze für den absoluten Fehler für ausreichend kleines und ist: Beweis: wobei wir Taylor um und Terme der Ordnung oder oder höher vernachlässigen, da sowohl als auch klein sind. In ähnlicher Weise ist Daher ist $f$$h$$R$

$$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$$ $$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$$ $$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$$ $f$$x$$hR$$h^2$$h$$R$ $$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$$ $$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$$ $$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$$ wobei wir noch einmal das Worst-Case-Szenario betrachten, in dem sich die Fehler summieren.

Die Grenze des relativen Fehlers ist daher abhängig von und kann ausgedrückt werden als $f(x)$

$$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$$

In ähnlicher Weise haben wir

$$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$$

Um Ihre direkte Frage zu beantworten (und Brian Borchers Kommentar zum Abschneiden nicht zu berücksichtigen):

Nach der Definition, die Sie für , ist sein relativer Fehler , und Ihre Definition sagt es nicht explizit, aber ist nicht konstant, also der relative Fehler inist .$f^-$$|(f^--f)/f|\leq R$$r$$|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$$\leq 2R$

Dies führt direkt zu den relativen Fehlern für seine und in ähnlicher Weise für seinen .$f^{'-}$$R/h$$f^{''-}$$4R/h^2$